dp--70.爬楼梯/easy 熟悉度C

1、题目

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

 

示例 1：

输入：n = 2
输出：2
解释：有两种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶

示例 2：

输入：n = 3
输出：3
解释：有三种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶

 

提示：

• 1 <= n <= 45

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2、题目分析

2.1 动态规划的三个特征：

 1.最优子结构
 最优子结构指的是，问题的最优解包含子问题的最优解。反过来说就是，我们可以通过子问题的最优解，推导出问题的最优解。如果我们把最优子结构，对应到我们前面定义的动态规划问题模型上，那我们也可以理解为，后面阶段的状态可以通过前面阶段的状态推导出来。

 2.无后效性
 无后效性有两层含义，第一层含义是，在推导后面阶段的状态的时候，我们只关心前面阶段的状态值，不关心这个状态是怎么一步一步推导出来的。第二层含义是，某阶段状态一旦确定，就不受之后阶段的决策影响。无后效性是一个非常“宽松”的要求。只要满足前面提到的动态规划问题模型，其实基本上都会满足无后效性。

 3.重复子问题
 这个概念就是不同的决策序列，到达某个相同的阶段时，可能会产生重复的状态。

2.2 如何定义动态规划的状态

动态规划对状态的定义，通常可以先考虑从问题中得到答案。把问题所问的东西 设计为每个状态所代表的值。
如问“有多少种不同的方法可以爬到楼顶”，则把状态设置为不同的台阶，状态的值代表有n种方法到达该状态。
那么状态间的转移：

1. 台阶1为初始状态，即台阶1可达路径数 dp[1]=1
2. 台阶2可以从台阶1跳过来，也可以是初始状态，则台阶2可达路径数 dp[2]=2
3. 台阶3可以从台阶2、或台阶1跳过来，即台阶3可达路径数 dp[3] = dp[1] + dp[2]
4. 依此类推，dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]

3、解题步骤

【状态转移方程】
1.定义状态：每个梯阶、及对应可达路径的数量
2.定义转移方程：
dp[0] = 1;
dp[1] = 1;
dp[i] = dp[i-1][i-2] i>=2

4、复杂度最优解代码示例

    public int climbStairs(int n) {
        int[] dp = new int[n + 1];
        dp[0] = 1;
        dp[1] = 1;
        for(int i = 2; i <= n; i++) {
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
        }
        return dp[n];
    }

5、抽象与扩展

动态规划一般是用来解决最优问题。而解决问题的过程，需要经历多个决策阶段。每个决策阶段都对应着一组状态。然后我们寻找一组决策序列，经过这组决策序列，能够产生最终期望求解的最优值。