数据结构——堆排序

堆排序的时间复杂度O(N*logN),额外空间复杂度O(1)，是一个不稳定性的排序。

一 准备知识
堆的结构可以分为大根堆和小根堆，是一个完全二叉树，而堆排序是根据堆的这种数据结构设计的一种排序，下面先来看看什么是大根堆和小根堆

1.1  大根堆和小根堆
性质：每个结点的值都大于其左孩子和右孩子结点的值，称之为大根堆；每个结点的值都小于其左孩子和右孩子结点的值，称之为小根堆。如下图

 我们对上面的图中每个数都进行了标记，上面的结构映射成数组就变成了下面这个样子

还有一个基本概念：查找数组中某个数的父结点和左右孩子结点，比如已知索引为i的数，那么

1.父结点索引：(i-1)/2（这里计算机中的除以2，省略掉小数）

2.左孩子索引：2*i+1

3.右孩子索引：2*i+2

所以上面两个数组可以脑补成堆结构，因为他们满足堆的定义性质：

大根堆：arr(i)>arr(2*i+1) && arr(i)>arr(2*i+2)

小根堆：arr(i)

二 堆排序基本步骤
基本思想：

1.首先将待排序的数组构造成一个大根堆，此时，整个数组的最大值就是堆结构的顶端

2.将顶端的数与末尾的数交换，此时，末尾的数为最大值，剩余待排序数组个数为n-1

3.将剩余的n-1个数再构造成大根堆，再将顶端数与n-1位置的数交换，如此反复执行，便能得到有序数组

2.1 构造堆
将无序数组构造成一个大根堆（升序用大根堆，降序就用小根堆）

假设存在以下数组

主要思路：第一次保证0~0位置大根堆结构（废话），第二次保证0~1位置大根堆结构，第三次保证0~2位置大根堆结构...直到保证0~n-1位置大根堆结构（每次新插入的数据都与其父结点进行比较，如果插入的数比父结点大，则与父结点交换，否则一直向上交换，直到小于等于父结点，或者来到了顶端）

插入6的时候，6大于他的父结点3，即arr(1)>arr(0)，则交换；此时，保证了0~1位置是大根堆结构，如下图：

                                     (友情提示：待交换的数为蓝色，交换后的数为绿色)

 插入8的时候，8大于其父结点6，即arr(2)>arr(0),则交换；此时，保证了0~2位置是大根堆结构，如下图

插入5的时候，5大于其父结点3，则交换，交换之后，5又发现比8小，所以不交换；此时，保证了0~3位置大根堆结构，如下图 

插入7的时候，7大于其父结点5，则交换，交换之后，7又发现比8小，所以不交换；此时整个数组已经是大根堆结构 

2.2 固定最大值再构造堆
此时，我们已经得到一个大根堆，下面将顶端的数与最后一位数交换，然后将剩余的数再构造成一个大根堆

                                    （友情提示：黑色的为固定好的数字，不再参与排序） 

 此时最大数8已经来到末尾，则固定不动，后面只需要对顶端的数据进行操作即可，拿顶端的数与其左右孩子较大的数进行比较，如果顶端的数大于其左右孩子较大的数，则停止，如果顶端的数小于其左右孩子较大的数，则交换，然后继续与下面的孩子进行比较

下图中，5的左右孩子中，左孩子7比右孩子6大，则5与7进行比较，发现5<7，则交换；交换后，发现5已经大于他的左孩子，说明剩余的数已经构成大根堆，后面就是重复固定最大值，然后构造大根堆

如下图：顶端数7与末尾数3进行交换，固定好7，

剩余的数开始构造大根堆 ，然后顶端数与末尾数交换，固定最大值再构造大根堆，重复执行上面的操作，最终会得到有序数组

三 总结
到这里，大家应该对堆排序都有了自己的见解，我们对上面的流程总结下：

1、首先将无需数组构造成一个大根堆（新插入的数据与其父结点比较）

2、固定一个最大值，将剩余的数重新构造成一个大根堆，重复这样的过程

四 代码
代码中主要两个方法：

1、将待排序数组构造成一个大根堆（元素上升）

2、固定一个最大值，将剩余的数再构造成一个大根堆（元素下降）
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#include
int main(){
	void heap_sort(int a[],int n);
	int arr[10]={1,3,6,4,9,8,7,4,5,2},i;
	heap_sort(arr,10);
	for(i=0;i<10;i++){
		printf("%5d",arr[i]);
	}
	printf("\n");
	return 0;
}

void heap_adjust(int a[],int i,int n){
	int child;
	int temp=a[i];
	while(2*i+1=0;i--){
		heap_adjust(a,i,n);
	}
	for(i=n-1;i>=0;i--){
		temp=a[0];
		a[0]=a[i];
		a[i]=temp;
		heap_adjust(a,0,i);
	}
}