自动驾驶控制算法(二) - 轮胎侧偏特性与车辆动力学方程

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一、轮胎侧偏特性

侧偏特性是指侧偏力、回正力矩与侧偏角的关系。

1、建立轮胎坐标系

研究车轮的轮胎特性，首先需要建立一个轮胎的坐标系，如下图所示。

2、轮胎侧偏现象

这里有必要提到两个很关键的力学概念，即侧向力$F_y$和侧偏力$F_Y$，两者本质是一对作用力与反作用力，其含义分别为：
侧向力：作用在轮胎上面的力
侧偏力：地面作用于车轮的侧向反作用力。

在运动学模型里面一个很重要的限定条件是考虑车辆是低速行驶，可以认为轮胎是刚性轮胎，
认为车辆轮胎沿着车身坐标系的轮胎转向角和轮胎的速度方向是一致。
基于这一条件，我们才确定了车辆的瞬心O，转弯半径R，进而确定了车辆的质心速度V等一系列物理量。

2.1 刚性轮胎

在刚性轮上作用侧向力$F_y$，只有当侧向力$F_y$大于（或等于）车轮与路面之间的侧向附着力时，车轮的运动方向才会改变。

2.2 弹性轮胎

在弹性轮上作用侧向力$F_y$，将在地面产生与轮胎的侧偏力$F_Y$。
当车轮静止时，其受力示意图如下：

当车轮滚动时，其受力示意图如下：

在这种情况下，进而会产生一个侧偏角，侧偏角定义如下：

侧偏力与侧偏角的关系如下图所示。可以发现，在侧偏角比较小的情况下，几乎是线性关系，当达到一定侧偏角以后，即接近于饱和。

二、车辆动力学方程推导

本文利用最经典的二自由度车辆动力学方程进行推导讲解，车辆动力学模型是通过牛顿力学关系建立的。由于考虑了轮胎侧偏特性，动力学模型会比运动学模型更加精准。车辆动力学方程的推导过程如下：

• 假设条件：
  ①推导公式中一律为车身坐标系，并采用右手系；
  ②前轮转角$\delta$较小。

• 推导过程：
  轮胎侧偏力与侧偏角的关系为：$F=C\cdot \alpha$ ，$C$ 为侧偏刚度，并且为负值。
  
  其中${\alpha }_f$和${\alpha }_r$都是负值，根据牛顿第二定律，得出如下表达式：
  $$\{\begin{array}{r}m\cdot a_y=F_{yf}\cdot cos\delta +F_{yr}\\ I\cdot \ddot{\phi }=F_{yf}\cdot cos\delta \cdot a-F_{yr}\cdot b\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$

基于前述的假设条件，前轮转角$\delta$较小，即有cosδ = 1，可将公式变换为：
$$\{\begin{array}{r}m\cdot a_y=F_{yf}+F_{yr}=C_{\alpha f}\cdot {\alpha }_f+C_{\alpha r}\cdot {\alpha }_r\\ I\cdot \ddot{\phi }=F_{yf}\cdot a-F_{yr}\cdot b=a\cdot C_{\alpha f}\cdot {\alpha }_f-b\cdot C_{\alpha r}\cdot {\alpha }_r\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$

我们需要得到$a_y$、${\alpha }_f$、${\alpha }_r$与已知量的转换关系
$v_y=\dot{y}$ , $a_y=\ddot{y}+v_x\cdot \dot{\phi }$
此处可看成横向运动的加速度和横摆运动的向心加速度之和。

前后轮侧偏角的计算如下：

$v_x=v\cdot cos\beta$ , $v_y=v\cdot sin\beta$

$tan{\alpha }_r=\frac{\dot{\phi }\cdot b-v_y}{v_x}$ , $tan\theta =\frac{\dot{\phi }\cdot a+v_y}{v_x}$

由于${\alpha }_r$、$\theta$是负值，则有${\alpha }_r=\frac{v_y-\dot{\phi }\cdot b}{v_x}$

${\alpha }_f=\theta -\delta =\frac{\dot{\phi }\cdot a+v_y}{v_x}-\delta$

则车辆动力学方程为：
$$\{\begin{array}{r}m\cdot a_y=C_{\alpha f}\cdot {\alpha }_f+C_{\alpha r}\cdot {\alpha }_r=>m\cdot (\ddot{y}+v_x\cdot \dot{\phi })=C_{\alpha f}(\frac{\dot{\phi }\cdot a+v_y}{v_x}-\delta )+C_{\alpha r}(\frac{v_y-\dot{\phi }\cdot b}{v_x})\\ I\cdot \ddot{\phi }=a\cdot C_{\alpha f}\cdot {\alpha }_f-b\cdot C_{\alpha r}\cdot {\alpha }_r=>I\cdot \ddot{\phi }=a\cdot C_{\alpha f}(\frac{\dot{\phi }\cdot a+v_y}{v_x}-\delta )-b\cdot C_{\alpha r}(\frac{v_y-\dot{\phi }\cdot b}{v_x})\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$

矩阵形式为：
$\left[\begin{array}{c}\ddot{y}\\ \\ \ddot{\phi }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{C_{\alpha f}+C_{\alpha r}}{m\cdot v_x}& \frac{a\cdot C_{\alpha f}-b\cdot C_{\alpha r}}{m\cdot v_x}-v_x\\ & \\ \frac{a\cdot C_{\alpha f}-b\cdot C_{\alpha r}}{I\cdot v_x}& \frac{a^2\cdot C_{\alpha f}+b^2\cdot C_{\alpha r}}{I\cdot v_x}\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}\dot{y}\\ \\ \dot{\phi }\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}\frac{-C_{\alpha f}}{m}\\ \\ \frac{-a\cdot C_{\alpha r}}{I}\end{array}\right]\cdot \delta$

假设$X=\left[\begin{array}{c}\dot{y}\\ \\ \dot{\phi }\end{array}\right]，A=\left[\begin{array}{cc}\frac{C_{\alpha f}+C_{\alpha r}}{m\cdot v_x}& \frac{a\cdot C_{\alpha f}-b\cdot C_{\alpha r}}{m\cdot v_x}-v_x\\ & \\ \frac{a\cdot C_{\alpha f}-b\cdot C_{\alpha r}}{I\cdot v_x}& \frac{a^2\cdot C_{\alpha f}+b^2\cdot C_{\alpha r}}{I\cdot v_x}\end{array}\right]，B=\left[\begin{array}{c}\frac{-C_{\alpha f}}{m}\\ \\ \frac{-a\cdot C_{\alpha r}}{I}\end{array}\right]，u=\delta$

则上述矩阵可表示为：

$\dot{X}=A\cdot X+B\cdot u$，通过控制$\delta$来实现对$y、\phi$的控制。