python生成 2048位随机质数 Miller-Rabin质数测试算法

Miller-Rabin质数测试算法是一种基于随机化的算法，用于判断一个数是否为质数。该算法具有高效性和强健性，通常被用于加密算法中生成大素数。

该算法基于以下两个事实：对于质数$p$和任意整数$a$，有$a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$；对于任意整数$n$，如果$n$不是质数，则$n-1$可以表示为$2^{r}d$的形式，其中$r\ge 1$，$d$是奇数。因此，我们可以选择一个随机整数$a$，计算$a^d,a^{2d},\dots ,a^{2^{r-1}d}$，如果其中任何一个模$n$等于$1$，或者等于$n-1$，则$n$可能是质数；否则，$n$一定不是质数。

由于Miller-Rabin质数测试算法具有高效性和强健性，通常被用于生成大素数，特别是在RSA等加密算法中。在实际应用中，一般会对该算法进行多次迭代，以增加正确性的概率。

import random

def is_prime(n, k=5):
    # 如果 n <= 1，则返回 False
    if n <= 1:
        return False
    # 检查 n 是否等于小于 100 的质数
    small_primes = [2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97]
    if n in small_primes:
        return True
    for p in small_primes:
        if n % p == 0:
            return False
    # 找到 r 和 d 以满足 n-1 = 2^r * d
    r, d = 0, n-1
    while d % 2 == 0:
        r += 1
        d //= 2
    # 进行 k 次测试
    for i in range(k):
        a = random.randint(2, n-2)
        x = pow(a, d, n)
        if x == 1 or x == n-1:
            continue
        for j in range(r-1):
            x = pow(x, 2, n)
            if x == n-1:
                break
        else:
            return False
    return True

def generate_prime_number(length):
    while True:
        # 生成一个长度为 length 的随机奇数
        num = random.getrandbits(length)
        num |= (1 << length - 1) | 1
        # 检查 num 是否为质数
        if is_prime(num):
            return num

print(generate_prime_number(2048))

该代码中的is_prime函数实现了Miller-Rabin质数测试算法。函数接受两个参数，n表示要测试的数，k表示测试次数。该函数首先检查n是否小于等于1，或者是否能够被小于100的质数整除。如果n不满足这些条件，就找到一个r和d，使得$n-1=2^r\ast d$。然后，它对于$k$个随机的整数$a$执行Miller-Rabin测试。如果对于所有的测试$a$都有$x=1$或$x=n-1$，则n很可能是一个质数。如果对于任何一个$a$，都有$x\ne 1$且$x\ne n-1$，则n不是质数。如果在所有测试中都没有发现n不是质数的证据，则n很可能是一个质数。

generate_prime_number函数生成一个长度为length的随机奇数，然后检查它是否为质数。如果是，就返回它；否则，就