导数与微分

一. 导数定义

若是极限存在，则称函数y = f(x)在点处可倒

k值直线用一般函数关系就可以求出来， 曲线才需要求导，并称次极限为函数y = f(x)在点处的导数。

二. 常用的导数定义形式

定义

单侧导数

左导：

右导：

必要条件：左导 =  右导

例子1:

思路：注意关键字" 左导 "根据公式，最后代入数据，需要用到关系求出结果。

例子2

函数在某点处可导的充分必要条件：

分析：根据公式代入数据，得结果。c选项，画图可以看出左右两边的斜率一定是不相等，所以就是不可导的。

三. 导数定义式极限

快速解法技巧：

问题来了怎么求R值？很简单：只要去f最后得出的数即是了

例一

解析：按照快速解法的技巧：

例二

解析：也是同样的道理按照快速解法的技巧：

例三

解析：老办法快速解法技巧：

四. 可导与联系

1. 连续：不间断的， 可导：光滑的

重要式子，转折点（连续不可导）

| x | ,            x = 0

| x - 1 | ,       x = 1

| x+ 1 | ,        x = -1

2. 可导与连续的关系：可导连续

注：（1）充分条件：顺箭头推

       （2）必要条件：逆箭头推

       （3）原命题成立，逆否命题也成立。

五. 导数公式与运算

1. 导数的基本公式

2. 复合函数（从外到里）

特殊例子：

导数的的几种形式：

六. 隐函数求导

1. 隐函数：y = y(x)由方程F(x,y）= 0所确定，求. 如: 

2. 方法：隐函数求导公式 = （注：），（:实际上就是F对x的偏导，同理），（偏导：就是只对x求导，或者只对y求导）

例题

例一

解析：一看就可以确定，我们可以拿进行偏导计算。

解：

因为，

所以，

得，

所以有，

例二

解析：同样道理，我们可以通过进行偏导计算。因为他已经把x值告诉你了。所以，我们，我们把它打入原式就可以得出y值，最后代入，得出结果。（省略步骤。。。。。。）

七. 参数方程求导

1. 参数方程

例一

思路： 按照公式。分别对y， x进行偏导。然后在进行化简，代数，得出结果。记住当中有一个化简，需要把正切幻化成余弦来，计算方便。

例二

八. 对数函数求导

1. 单边取对数

例子

2. 双边取对数

。

例一

求的导数

解法: 像这种连乘连除的，应该使用双边取对数的方式。

10. 求高阶导

所求阶数不熟太高的话，连续求导即可

解法思路：

如此可见，他们相差两个阶位，所以只要，求两次导就可以了

例题2

解法一：

排除BC不要问为什么，凭直觉，然后把n = 1带进f(x)的导数函数去，得出前面系数，是为1。所以在AC只有A前面系数才为1。

解法二：

本章节的核心是什么？就是求高阶数时，需要找规律的结果，所以必须把前几个阶导求出来，看他们规律。

常见的高阶导

例子1

套公式可得

例2

解法：求导第3阶，就已经变为0了，剩下的那个，根据上面的公式可以得出最后的结果是：2^10*e^2x

例3

解题思路：我们可以看出原函数，去括号，最后的x的最高阶数也是4次。而要求最后求导也是4阶。所以呢 ，只有一个数是有效的，其他都会变为0.所以最终结果为：4！

11. 求切线方程和法线方程（这小节过于简单，不展开讲）

应用的是点斜式（y - y0） = k(x - x0)

例子

解法：求法线，需得切线，求切线，因为这是一个参数方程，所以有.最后化简方发现，分子为0，如此可以可知切线就是一条水平的直线，那么法线就是一条竖直的直线。所以在曲线中中有法线的值，所以最后可以求出x出来。

十二. 微分

定义微分的定义

注：

dy： y的微分；

dx：x的微分

公式