第五章 动态规划(8)：数位DP模型

数位DP技巧：

1. [X, Y] → f(Y) - f(X - 1)，f(N)表示 1 ~ N 中满足某种性质的个数。比如第一题计数问题；
2. 利用树的角度考虑，比如度的数量。

1、计数问题

ACWing 338

算法思路：一定要分情况讨论

首先，题目要求在[a, b]中0 ~ 9这10个数中分别出现的次数，那么我们先实现一个函数count(n, x)：求出从 1 ~ n 中 x 出现的次数，则在[a, b]中x出现的次数表示为cout(b, x) - count(a-1, x)（类似于前缀和）。

对count(n, x)函数，例如当x=1时，则count(n, 1)表示为从1 ~ n中找出1出现的次数。先求出1在1 ~ n中每一个位上出现的次数，则其总和即为count(n, 1)。

例如有abcdefg，则1在第四位出现可以表示为1 <= xxx1yyy <= abcdefg，即为表示在1 ~ abcdefg之间有多少个数的形式是xxx1yyy。分情况讨论：

• ① 若xxx = 000 ~ abc - 1时，xxx1yyy < abc1yyy <= abc1efg，则yyy 可取 000 ~ 999，总共有abc * 1000种选法；
• ② 若xxx = abc时：
  • 若d < 1即d = 0时，则第四位为1即abc1yyy，但是abc1yyy > abc0efg，超出了范围，总共有0种选法；
  • 若d = 1时，即abc1yyy，则yyy 只能取 000 ~ efg，总共有efg + 1种选法；
  • 若d > 1时，则abcdefg > abc1yyy，故yyy可取000 ~ 999，共1000种选法。

由以上，依次类推，可以求出1在任意一位数上出现的次数，然后将每一个位上的1出现的次数累加起来，就能得到1在1 ~ n位中整个出现的次数。依次类推，可以求出1 ~ 9每一个数在1 ~ n中整个出现的次数。

边界情况：

• 当枚举数字0的时候，对于②不存在前导零，不用考虑；对于①，只能从001开始枚举。

# include 
# include 
using namespace std;

int dgt(int n) // 计算整数n有多少位
{
   
    int res = 0;
    while (n) ++ res, n /= 10;
    return res;
}

int cnt(int n, int i) // 计算从1到n的整数中数字i出现多少次 
{
   
    int res = 0, d = dgt(n); // d是n的位数
    for (int j = 1; j <= d; ++ j) // 计算从右到左第j位上数字i出现多少次
    {
   
        // l和r是第j位左边和右边的整数 (视频中的abc和efg); dj是第j位的数字
        int p = pow(10, j - 1), l = n / p / 10, r = n % p, dj = n / p % 10;
        // 计算第j位左边的整数小于l (视频中xxx = 000 ~ abc - 1)的情况
        if (i) res += l * p; 
        // 如果i = 0, 左边高位不能全为0(视频中xxx = 001 ~ abc - 1)
        if (!i && l) res += (l - 1) * p; 
        // 计算第j位左边的整数等于l，不能存在前导零 (视频中xxx = abc)的情况
        if ( (dj == i) && (i || l) ) res += r + 1;
        if ( (dj > i) && (i || l) ) res += p;
    }
    return res;
}

int main()
{
   
    int a, b;
    while (cin >> a >> b , a)
    {
   
        if (a > b) swap(a, b);
        for (int i = 0; i <= 9; ++ i) cout << cnt(b, i) - cnt(a - 1, i) << ' ';
        cout << endl;
    }
    return 0;
}

2、度的数量

ACwing 1081

题中引例的意思实质上是：找到区间[x,y]中的某些数，这些数的B进制(引例是B=2二进制) 表示中仅包含k = 2个1，其余为0。

假设我们需要求$[0,N]$中满足某种性质的个数即数位DP技巧中的f[N]，若数$N$是$n$位数，其表示为$a_{n-1}、a_{n-2}、...、a_0$。

1. 一定要注意审题：这个数恰好等于 K 个互不相等的 B 的整数次幂之和。这句话的意思就表明了 K 个互不相等的 B 的整数次幂前面的系数只能是0 or 1！！！所以在下面图中，比如结点 $0$ ~ $a_{n-1}-1$ 仅有两个分支0 or 1，大于1的分支都不合法！
2. 这里$N$是已经转换为了$B$进制下的数，比如：$19$，在$3$进制为$19=(201{)}_3$，即 $19=2\times 3^2+0\times 3^1+1\times 3^0$。

组合数的计算公式 $C_a^b=C_{a-1}^{b-1}+C_{a-1}^b$。代码中使用f[a][b]来表示：从a中选择b个数的方案数。

#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 35; // 1 ≤ X ≤ Y ≤ 2^31−1，所以最多31位

int K, B;
int f[N][N]; // f[a][b]：从a个数中选择b个数的方案数

void init() // 预处理f[a][b]