感悟数学

2023-03-30

本人不是数学专业出身，只是对某些数学感兴趣，看过一些数学读物和一些数学史，对数学有一些盲人摸象的感悟，如有错误或不准确的地方，还请读者老师指正。

一、数域的扩充：
数学的起点从数数开始，自然数在计数、借还、计算面积、体积不够用的时候，进行了数域的扩充。从自然数扩展到整数、分数（有理数）、实数、复数。为了运算的效率、处理不变量等，开始使用向量、矩阵、张量、三元数、四元素、八元数等。

二、运算的扩展：
从计数起步，在生产生活中，逐渐出现了加减乘除、乘方开方运算；然后是对数、指数运算；逻辑运算；微分积分运算。针对集合的运算等。

三、抽象的进阶——公理化
数数本身就是一个抽象的突破，运算更是对规律的总结。在数域和运算发展的过程中，数学开始更高阶别的抽象。其一就是以欧几里得几何学为代表的公理化趋势，以及以康托尔(G Cantor)为代表的集合论，并在此基础上出现了映射和函数。

四、纯粹化和结构化
从集合论和映射出发的数学，变得纯粹。把数学研究的对象都纳入集合的元素，而各种运算都归为映射。集合的元素在映射的作用下，运动在不同的集合中。为了对这种规律进行刻画，探索各种结构的特性开始出场。从实数的连续性、极限、开与闭、无界与有界、无限与有限、可列与不可列、收敛与发散、完备与封闭、长度、范数、测度、角度、正交、内积、秩、维数。布尔巴基学派把数学分为序结构、代数结构和拓扑结构等几大结构。对集合加上不同的运算约束，得到了不同的代数结构，如群、环、域、理想、格、模、阿贝尔群、李群等。一个比较大的代数结构就是空间，一般研究的是向量空间，用的更多的是线性空间。

五、元素与运算的运动场——空间
运算施加在元素上，一般元素是集合的元素，当然运算也可以构成集合，这样就自然的产生了对元素为运算的运算，是不是有点拗口？但通常不会导致递归，否则就会出现不给理发师理发的理发师构成的集合的问题了。一般来说，空间就是一个集合，这个集合中的元素具有一致的属性，且对集合的元素施加了规定的运算后，不会跑到空间外边去，而在另一些运算作用下，可以对应为另一个空间的元素或者就是一个数域的数，通常是复数和实数。而运算构成的集合，符合一定要求，也可以变为空间，就是算子空间。不同空间有不同的结构和运算。如：线性运算、距离、测度、范数、正交、投影、内积、混合积、笛卡尔积、正交补等。典型的空间有：欧氏空间、内积空间、度量空间、赋范空间、巴拿赫空间、Hilbert空间、向量空间、索博列夫空间、拓扑空间、拓扑线性空间等。需要注意的是，空间不但与对应集合的构成元素密切相关，而且与在这些元素上定义的结构密切相关，如：元素相同，但定义不同的范数，得到的不同赋范空间，其收敛性、完备性可能就不一样。拓扑空间也要是如此，元素相同，定义的拓扑不同，则得到的拓扑空间不同。

六、线性性和凸性
研究问题是为了简化、通用，可以演绎推广。所以一般是研究线性空间（向量空间），线性空间，就是满足2种运算和8条规则的集合，但这其中蕴含着封闭性和唯一性。线性性的本质是可以把复杂问题简化为简单问题进行解决，然后把这些简单问题的答案“合”起来可以得到复杂问题的解。现实世界的许多问题不满足线性性，则采用局部近似为线性问题进行求解。
在处理许多问题的时候，需要问题的空间满足凸性，简单的理解也就是多个子问题的线性组合仍然在原空间中。线性组合的系数只要是某个数域就可以了，通常为实数；而仿射组合要求组合系数之和为1；而凸组合的系数必须非负且和为1。

七、数学的追求
虽然数学是抽象的，精确的，但抽象和精确并不是数学追求的目标。我认为，数学追求的是解决问题，解决问题的通用方法，简单、高效地解决问题，精确的解决问题，在解决问题的过程中追求的是确定性，如果不能得到确定的结果，就退而求其次，得到一个概率或者范围。例如：1）小学的算数计算得到的确定的结果；2）方程的解和代数式的结果也是确定的结果，求根公式就是简单高效的方法；3）函数是一种像为数的映射；范函是把函数映射为一个数的映射；积分、微分也是为了得到确定的数；4）概率和估计则是为了得到一个确定的概率；即使是模糊数学，也是要得到一个确定的概率；5）变换是把一个空间的元素变为同空间另一个元素的运算；算子是把一个空间元素对应为另一个空间元素的映射；变换和算子其实也是为了得到确定的结果。6）从因式分解、正交分解、矩阵分解、数据降纬、线性近似、非凸问题转化为凸问题，都是为了把复杂问题简单化；7）连续性、极限、收敛、完备则是为了交换计算顺序，忽略次要问题；8）把无界问题转为可数稠密子集问题，把无限可数专为有限可数，通过同胚、同构、等距等转化为简单熟悉的问题，例如欧氏空间、实数域的问题。

参考：

1. 【知识总结】 凸集
2. 线性空间的定义和性质 线性空间
3.  线性组合？仿射组合？凸组合？