求两个数之间的最小公约数
目录
前言
方法：求两个数之间的最小公约数
1.欧几里得算法
2.枚举法
3.公共因子积
4.更相减损术
5.Stein算法
解题：在链表中插入最大公约数
总结
前言
今天刷每日一题：2807. 在链表中插入最大公约数 - 力扣（LeetCode），就在想怎么求两个数之间的最小公约数，然后发现求两个数的最大公约数（五种方法）-CSDN博客
这个博客总结的得很好但也有点自己的想法，于是记录下来，我也是真的超爱写博客了。
方法：求两个数之间的最小公约数
1.欧几里得算法
欧几里德算法是用来求两个正整数最大公约数的算法。是由古希腊数学家欧几里德在其著作《The Elements》中最早描述了这种算法,所以被命名为欧几里德算法。
大致过程如下：
1997 / 615 = 3 (余 152)
615 / 152 = 4 (余7)
152 / 7 = 21(余5)
7 / 5 = 1 (余2)
5 / 2 = 2 (余1)
2 / 1 = 2 (余0)
1997 % 615 = 152
615 % 152 = 7
152 % 7 = 5
7 % 5 = 2
5 % 2 = 1
2 % 1 = 0至此，最大公约数为1。
以除数和余数反复做除法运算，当余数为 0 时，取当前算式除数为最大公约数，所以就得出了 1997 和 615 的最大公约数 1。
观察数就可以得出其算法实现是：
/**
* 利用 欧几里得算法 求 m 和 n 的最大公约数
*
* @param m m
* @param n n
* @return m 和 n 的最大公约数
*/
public int gcd(int m, int n) {
while (n != 0) {
int temp = m % n;
m = n;
n = temp;
}
return m;
}
需要注意的是，在参考的博客说m>=n是此算法的必要条件，其实不然，因为就算m
2.枚举法
给出 m 和 n，首先求出 m 和 n 的最小值赋值给临时变量 t，然后对 t 依次递减，如果 m 除以 t 的余数为 0，并且 n 除以 t 的余数为 0，此时 t 就是 m 和 n 的最大公约数。
这里依然以刚刚的1997和615为例，如果按照枚举法去计算，代码就从t=615依次执行到2，（615-2+1）次，显然效率极低。
算法实现如下:
/**
* 通过遍历的方式来求 m 和 n 的最大公约数
*
* @param m m
* @param n n
* @return m 和 n 的最大公约数
*/
public int gcd2(int m, int n) {
// 第一步:将 min{m, n}的值赋值给 t
int t = Math.min(m, n);
for (; t >= 2; t--) {
// 第二步和第三步,如果 m 除以 t 余数为 0 并且 n 除以 t 余数为 0,直接返回 t
if (m % t == 0 && n % t == 0) {
return t;
}
// 否则 t--,返回第二步和第三步
}
return 1;
}
3.公共因子积
计算两个数字的公共因子积。
第一步:找出 m 的全部质因数
第二步:找出 n 的全部质因数
第三步:从第一步和第二步求得的质因数分解式中找出所有的公因数(如果p是一个公因数,而且在m和n的质因数分解式分别出现过pm和pn 次,那么应该将p重复min{pm, pn}次).
第四步:将第三步中找到的质因数相乘,其结果作为给定数字的最大公约数.
这个太太太繁琐了，完全没必要。看看就得了。
public int gcd3(int m, int n) {
Instant start = Instant.now();
int[] marr = factorArr(m);
int[] narr = factorArr(n);
// ---------------------------------------------------------------------
// 处理两个数组的公共元素
// ---------------------------------------------------------------------
// 求出 marr 和 narr 的最大值
Map mMap = new HashMap<>(marr.length);
Map nMap = new HashMap<>(narr.length);
// 处理 marr
for (int i = 0; i < marr.length; ) {
int index = i;
int count = 0;
while (index < marr.length && marr[index] == marr[i]) {
count++;
index++;
}
mMap.put(marr[i], count);
i = index;
}
// 处理 narr
for (int i = 0; i < narr.length; ) {
int index = i;
int count = 0;
while (index < narr.length && narr[index] == narr[i]) {
count++;
index++;
}
nMap.put(narr[i], count);
i = index;
}
int sum = 1;
// 可以遍历任意一个 map ，来找出公共元素的个数
for (Map.Entry entry : mMap.entrySet()) {
// 取出 value
int value = entry.getKey();
// 取出个数
int count = entry.getValue();
// 取出另外一个集合中对应 value 值出现的次数
int anotherCount = nMap.get(value) == null ? 0 : nMap.get(value);
// 两个因子数组相同因子出现次数的较小值
int minCount = Math.min(count, anotherCount);
sum *= minCount * value == 0 ? 1 : Math.pow(value, minCount);
}
return sum;
}
/**
* 返回 value 的全部因子,以数组的形式返回
*
* @param value value 值
* @return value 的全部因子,以数组的形式返回
*/
private int[] factorArr(int value) {
List list = new ArrayList<>();
for (int i = 2; i <= Math.sqrt(value); i++) {
if (value % i == 0) {
list.add(i);
value /= i;
i--;
}
}
return list.stream().mapToInt(Integer::valueOf).toArray();
}
4.更相减损术
- 第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。
- 第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。
- 则第一步中约掉的若干个2的积与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数。
/**
* 使用更相减损法求 m 和 n 的最大公约数
*
* @param m 数字 m
* @param n 数字 n
* @return m 和 n 的最大公约数
*/
public int gcd4(int m, int n) {
// 两个数字不相等时，继续进行运算，
while (m != n) {
if (m > n) m -= n;
else n -= m;
}
return m;
}
这个也很简洁，但也没有取余来得高效。
5.Stein算法
欧几里德算法是计算两个数最大公约数的传统算法，无论从理论还是从实际效率上都是很好的。但是却有一个致命的缺陷，这个缺陷在素数比较小的时候一般是感觉不到的，只有在大素数时才会显现出来：一般实际应用中的整数很少会超过64位（当然现在已经允许128位了），对于这样的整数，计算两个数之间的模是很简单的。对于字长为32位的平台，计算两个不超过32位的整数的模，只需要一个指令周期，而计算64位以下的整数模，也不过几个周期而已。但是对于更大的素数，这样的计算过程就不得不由用户来设计，为了计算两个超过64位的整数的模，用户也许不得不采用类似于多位数除法手算过程中的试商法，这个过程不但复杂，而且消耗了很多CPU时间。对于现代密码算法，要求计算128位以上的素数的情况比比皆是，比如说RSA加密算法至少要求500bit密钥长度，设计这样的程序迫切希望能够抛弃除法和取模。
Stein算法很好的解决了欧几里德算法中的这个缺陷，Stein算法只有整数的移位和加减法。
讲实话，这个我还没搞得太懂，需要之后好好看看，对于较大数字用这个。
递归：
/**
* 求两个正整数的最大公因数
*
* 结合辗转相除法和更相减损法的优势以及移位运算
*
* 结合辗转相除法和更相减损法的优势以及移位运算
* 对 m 和 n 分四种情况
* 如果 m 为偶数 n 为偶数, gcd(m, n) = gcd(m >> 1, n >> 1) << 1;
* 如果 m 为偶数 n 为奇数, gcd(m, n) = gcd(m >> 1, n);
* 如果 m 为奇数 n 为偶数, gcd(m, n) = gcd(m, n >> 1);
* 如果 m 为奇数 n 为奇数, gcd(m, n) = gcd(n, m - n);
*
* @param m 数字 m
* @param n 数字 n
* @return 返回 m 和 n 的最大公因数
*/
public int gcd5(int m, int n) {
// 这个地方也是利用到更相减损术
if (m == n) {
return m;
}
// 为了保证较大的数始终在前面，减少了代码
if (n > m) {
return gcd5(n, m);
} else {
if (((m & 1) == 0) && ((n & 1) == 0)) {
// 两数都是偶数
return gcd5(m >> 1, n >> 1) << 1;
} else if ((m & 1) == 0 && (n & 1) != 0) {
// m为偶数，n为奇数
return gcd5(m >> 1, n);
} else if ((m & 1) != 0 && (n & 1) == 0) {
// m为奇数，n为偶数
return gcd5(m, n >> 1);
} else {
// 当两个数都为奇数时，应用更相减损法
// 这个位置利用到了更相减损术
return gcd5(n, m - n);
}
}
}
非递归：
/**
* Stein 算法的非递归实现
*
* @param m m
* @param n n
* @return m 和 n 的最大公因子
*/
public int steinGCD(int m, int n) {
int count = 0;
if (m < n) return steinGCD(n , m);
while ((m & 1) == 0 && (n & 1) == 0) {
count++;
m >>= 1;
n >>= 1;
}
while (m != n) {
while ((m & 1) == 0) m >>= 1;
while ((n & 1) == 0) n >>= 1;
if (m < n) {
m ^= n;
n ^= m;
m ^= n;
}
// 进行一次更相减损术
int temp = m - n;
m = n;
n = temp;
}
return m << count;
}
解题：在链表中插入最大公约数
这里链表插入删除的逻辑还是很好做的，要注意的是这个while的条件：current != null && current.next != null
这里的gcd函数就是用来求最小公约数的（刚说的几种都可试试）。
/**
* Definition for singly-linked list.
* public class ListNode {
* int val;
* ListNode next;
* ListNode() {}
* ListNode(int val) { this.val = val; }
* ListNode(int val, ListNode next) { this.val = val; this.next = next; }
* }
*/
class Solution {
public ListNode insertGreatestCommonDivisors(ListNode head) {
ListNode current = head;
while (current != null && current.next != null) {
ListNode next = current.next;
int gcdValue = gcd(current.val, next.val);
// 在相邻节点之间插入新节点
ListNode newNode = new ListNode(gcdValue);
newNode.next = next;
current.next = newNode;
// 更新 current 指针到下一个相邻节点
current = next;
}
return head;
}
/**
* 计算两个数的最大公约数
*
* @param a 第一个数
* @param b 第二个数
* @return 最大公约数
*/
private int gcd(int a, int b) {
while (b != 0) {
int temp = a % b;
a = b;
b = temp;
}
return a;
}
}总结
当数较小时（不超过64位），用欧几里得算法（取余）或者更相减损术；当数太大时，用stein算法，此算法只有整数的移位和加减法。
加油加油，今天熬熬夜。