悟的复杂度分析

复杂度分析：

                时间复杂度（算法中的基本操作的执行次数）；

                空间复杂度。

时间复杂度：

实际上我们计算时间复杂度时，我们其实并不需要计算准确的执行次数，只需要大概的执行次数，因此我们在这里使用大O的渐进表示法。常见的时间复杂度O（1）， O（N²）， O（N），         O（logN）。

大O符号：

是用于描述函数渐进行为的数学符号。

推导大O阶方法：

1.用常数1取代运行时间中的所有加法常数；

例：

计算下面代码的时间复杂度

void f(int N)
{
    int count = 0;
    for(int k = 0; k < 100; ++k)
    {
         ++count;
    }
}

答案：O（1）

注：确定的常数次，都是O（1）。

2.在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项；

例：

计算下面代码的时间复杂度

void f(int N)
{
    int count = 0;
    for (int i = 0; i < N; i++)
    {
        for (int j = 0; j < N; j++)
        {
            ++count;
        }
    }
    for (int k = 0; k < 2 * N; k++)
    {
        count++;
    }
    int M = 10;
    while (M--)
    {
        ++count;
    }
    printf("%d", count);
}

答案：O（N²）

注：准确的执行次数：N² + 2 * N + 10

     随着N的增大，这个表达式中N²对结果的影响最大

3.若最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

例：

计算下面代码的时间复杂度

void f(int N)
{
    int count = 0;
    for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)
    {
        count++;
    }
    int M = 10;
    while (M--)
    {
        ++count;
    }
    printf("%d", count);
}

答案：O（N）

特殊情况：

例一：

计算下面代码的时间复杂度

void f(int N, int M)
{
    int count = 0;
    for (int k = 0; k < N; k++)
    {
        ++count;
    }
    for (int k = 0; k < M; k++)
    {
        ++count;
    }
}

答案：O（M + N）

注：假如给了条件：M远大于N，答案是O（M）；M和N差不多大，O（M）或O（N）。

例二：

计算下面代码的时间复杂度

const char* s(const char* str, char cha)
{
    while (*str != '\0')
    {
        if (*str == cha)
        {
            return str;
        }
        ++str;
    }
    return NULL;
}

假设字符串长度是N。

答案：O（N）

注：有些算法的时间复杂度存在最好，平均，最坏情况：

        最坏：O（N）

        平均：O（N/2）

        最好：O（1）

在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况。

例三：

计算下面代码的时间复杂度

void B(int* a, int n)
{
    assert(a);
    for (size_t end = n; end > 0; --end)
    {
        int exchange = 0;
        for (size_t i = 1; i < end; ++i)
        {
            if (a[i - 1] > a[i])
            {
                Swap(&a[i - 1], &a[i]);
                exchange = 1;
            }
        }
        if (!exchange)
        {
            break;
        }
    }
}

答案：O（N²）

注：第一趟冒泡：N

       第二趟冒泡：N - 1

       ........ 

      第N趟：1

以上是个等差数列，所以准确的次数是（N+1）*N/2

时间复杂度为O（N²）

例四：

计算下面代码的时间复杂度

int B(int* a, int n, int x)
{
    assert(a);
    int begin = 0;
    int end = n;
    while (begin < end)
    {
        int mid = begin + ((end - begin) >> 1);
        if (a[mid] < x)
        {
            begin = mid + 1;
        }
        else if (a[mid] > x)
        {
            end = mid;
        }
        else
        {
            return mid;
        }
    }
    return - 1;
}

答案：O（logN）

注：假设找了X次

2的X的平方 = N

X=logN

因为有很多地方不好写底数，所以一般省略简写成logN。 

例五：

计算下面代码的时间复杂度

long long f(size_t N)
{
    return N < 2 ? N : f(N - 1) * N;
}

答案：O（N²）

注：递归调用了N次，每次递归运算--》O（1）

整体就是O（N）。