立体几何之目：2015年文科数学全国卷A18

2015年文科数学全国卷A18

如图，四边形 为菱形， 为 与 的交点， 平面 .

（Ⅰ）证明∶平面 平面 ;

（Ⅱ）若 ，三棱锥 的体积为 ，求该三棱锥的侧面积.

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这个题用几何方法，有两种思路。注意其中的四面体与2016年文数全国卷A的关系。

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【解答第1问】

∵ 为菱形，∴

∵ 平面 , ∴

∵ , , ∴ 平面

又∵ 平面 , ∴ 平面 平面 .

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【解答第2问：思路一】

∵ 四边形 为菱形，，∴ 是等边三角形，.

∵ 平面 , ∴

∴

∴

∵ , ∴ .

设 , 则 , ,

∴ .

,

三棱锥 的侧面积 = .

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【解答第2问：思路二】

PAC是等边三角形

延长 到点 , 并使得 . 再连接 .

∵ 为菱形，, ， ∴ 是等边三角形。

∴

又∵ 平面 , ∴

∴

∴

又∵ , ∴

∴ ,

∴

∵ 四边形 为菱形，∴ , ∴

∵ 是等边三角形,

∴

∴ , , ∴ .

以下同思路一。

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【提炼与提高】

由1个等边三角形与3个等腰直角三角形围成的四面体，是很常见的一种四面体，在高考中出场率极高。一定要把它玩熟。

这样一个四面体的特点是：有三条棱长度相等，而且两两垂直。它可以认为是从正六面体上切下来的四面体。

它的体积计算也很有意思。以本题为例，我们灵活应用体积公式，迅速地算出 与 的比例关系。这样计算要比勾股定理快。

另外，在本题中本来并没有3个等腰直角三角形。但是有一个特殊的菱形 。这个菱形实际上由两个等边三角形构成。应用其与等边三角形的关系，我们构造出了自己所熟悉的常见四面体。

以后我们会看到，思路二对于其他考题是有参考价值的。

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