平衡二叉树(AVL树）

平衡二叉树

平衡二叉树（Balanced Binary Tree）又称平衡二叉搜索树

首先引入一个变量，叫做平衡因子（r），节点X的r就表示x的左子树的深度-右子树的深度。然后我们要保证一棵树平衡，就是要保证左右子树的深度差小于等于1.所以r的取值能且仅能取0，-1，1.

平衡二叉树它或者是一棵空二叉树树，或者是具有下列性质的二叉树：

1. 其根的左右子树高度之差的绝对值不能超过1；
2. 其根的左右子树都是二叉平衡树。
   AVL树查找的时间复杂度为O(logN)，因为树一定是平衡的。但是由于插入或删除一个节点时需要扫描两趟树，依次向下查找插入点，依次向上平衡树。

最小二叉平衡树的节点的公式如下 F(n)=F(n-1)+F(n-2)+1 这个类似于一个递归的数列，可以参考Fibonacci数列，1是根节点，F(n-1)是左子树的节点数量，F(n-2)是右子树的节点数量。

对一棵查找树（search tree）进行查询/新增/删除 等动作, 所花的时间与树的高度h 成比例, 并不与树的容量 n 成比例。如果可以让树维持矮矮胖胖的好身材, 也就是让h维持在O(lg n)左右, 完成上述工作就很省时间。能够一直维持好身材, 不因新增删除而长歪的搜寻树, 叫做balanced search tree（平衡树）。

先来理解一下旋转
二叉左旋
一棵二叉平衡树的子树，根是Root，左子树是x，右子树的根为RootR，右子树的两个孩子树分别为RLeftChild和RRightChild。则左旋后，该子树的根为RootR，右子树为RRightChild，左子树的根为Root，Root的两个孩子树分别为x（左）和RLeftChild（右）。

二叉右旋
一棵二叉平衡树的子树，根是Root，右子树是x，左子树的根为RootL，左子树的两个孩子树分别为LLeftChild和LRightChild。则右旋后，该子树的根为RootL，左子树为LLeftChild，右子树的根为Root，Root的两个孩子树分别为LRightChild（左）和x（右）。

左旋就是将节点的右支往左拉，右子节点变成父节点，并把晋升之后多余的左子节点出让给降级节点的右子节点；

而右旋就是反过来，将节点的左支往右拉，左子节点变成了父节点，并把晋升之后多余的右子节点出让给降级节点的左子节点。

即左旋就是往左变换，右旋就是往右变换。不管是左旋还是右旋，旋转的目的都是将节点多的一支出让节点给另一个节点少的一支。
这种规律的目的是保持二叉平衡树的结构，不是随便乱旋转。

二叉平衡树插入结点的操作过程
1.单向右旋（LL型左左）
下面两个图中红色结点为新插入结点，没插入红色结点时，树是平衡的，差如红色结点后，a结点的平衡因子为2.
4和9结点的插入位置都为根节点12的左结点10的左结点8的子结点（“两个左结点”的子结点，所以叫左左）。

旋转后

2.单向左旋（RR右右）

新插入结点为18或者15（18或者15为根结点12的右结点14的右节点16的子结点，所以叫RR右右）

左旋转后

3.双向旋转（左右）
新插入结点13或11是不平衡结点14的左子结点10的右子结点12的子结点（左子结点的右子结点的子结点，所以叫左右）

旋转过程如下


4.双向旋转右左
前面介绍很多了，这次直接上图了。