微积分的本质

四天的内容被我一天写了，有点难以言词。

微分

还记得我们刚接触高数时先学的是什么吗？极限。极限这个名词从字面意思十分简单，就是到最终的临近状态，只可意会不可言传。然而在数学中确实不容易理解。很多初学者并不是很明白那种状态，再加上国内教育就是堆公式、推定理，基本没有多少人真正的理解。

不过从微分开始学习也是不错的，什么是微分？微分就是一个微小的数，连续和离散可以描述我们整个世界，当我们把连续的东西划分为非常小离散的部分，就可以计算连续的东西。微分就是这种思想。当牛顿和莱布尼兹遇到天体运动上的连续运算时，就发明了微积分，当时命名为流数。

瞬间的状态是否有意义？从一张照片上你能看出那一辆车的速度更快吗？Oh，当然不能，从数学哲学的角度来看，瞬间的状态是没有意义的。只有联系到前后的状态才有意义。我们说小车某一刻的瞬时速度并不是一个真正的时刻速度（no mean），而是在那非常小的一段时间里速度。也就是 汽车在非常短的时间里(dt)行驶的距离为dx。这就是所谓的微分。

导数

好像在说明微分的时候不小心把导数讲到了，导数有很多种理解，函数在某一处的斜率，函数在某一处的变化率。说到导数又联系到极限了，导数的定义就用到了极限如下:
解释就是我们在x处的微分间隔趋紧于0。

积分

积分就是微分的相反，我们可以通过微分和导数、极限来计算连续状态中在任意一个瞬间时刻的状态，它的几阶变换率（行程---速度-加速度-冲击度），而积分我们是想要了解总体的状态，比如说面积，体积，总行程，释放量。总而言之，表示一种累积量。积分就是有限（并不是无限，至少在CS学科上不能是无限）个小量的加和。
like this :
n 是有限的正实数,有限分割的小段距离就可以近似为总行程。当时间分割的非常小时，我们需要更换一个更好的符号，表示这是积分.
like this : 表示从时间a到时间b的小量相加。

级数

对于一个曲线（函数），或许我们可以用多项式去拟合一下，我们得先考虑从哪里开始拟合，for example: 从x = 0处如何？ 为了保证在x=0点重合，我们需要多项式: 因此 为了保证在x = 0两侧函数的上升和下降趋势相同，我们需要多项式: 因此：
为了更高的拟合程度，保证更高阶的导数相同。
同理可推出：

当这种展开推广到无限项时，就称之为级数。
上述这种特殊的在0处展开的形式称之为麦克劳林级数。
更一般的任意点展开称之为泰勒级数。

有些函数任意点可以推广到整个函数空间。就是其中一个，任一点展开的形式都是适用的，我们称之为收敛级数。相反，有些函数的展开点是有适用范围的，范围称之为 收敛半径，比如log(x),我们称之为发散级数.

其他

more and more 知识，微积分确实是科学研究中不可缺少的工具，我们不必避之如虎，深入理解其中道理，绝不会像高数课那样无聊，你会发现，一切都是那么自然！

参考：3blue1brown 感兴趣的去了解一下。