对数函数：2016年文数全国卷B题20

对数函数：2016年文数全国卷B题20

已知函数 .

（I）当 时，求曲线 在 处的切线方程;

（Ⅱ）若当 时，，求 的取值范围.

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【解答第I问】

函数 的定义域为 .

当 时，

切线方程为 .

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【解答第Ⅱ问】

, 与 值无关.

当 , 在 单调递增；

（1）若 , , 在 区间 , 函数 单调递增；

所以， 成立.

（2）若 , ,

又因为 , 所以

当 , , 函数 单调递减，所以，.

综上可知： 的取值范围是 .

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【提炼与提高】

这是一个入门级的高考题，适合用作同步补充练习。

以下几点请留意：

分类讨论

本题中，导函数 是一个增函数。如果 为正，就好办；但如果 为负，就要另想办法。这就需要分类讨论。

放缩操作

在讨论存在性问题时，我们对于精确的取值并不感兴趣，使用一系列不等式进行放缩处理，迅速地完成定性讨论，是常用的操作。

以本题为例，用到了以下不等式：

平时多总结，遇到复杂问题就不慌。

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