对数函数:2016年文数全国卷B题20

对数函数:2016年文数全国卷B题20

已知函数 .

(I)当 时,求曲线 在 处的切线方程;

(Ⅱ)若当 时,,求 的取值范围.


【解答第I问】

函数 的定义域为 .

当 时,

切线方程为 .


【解答第Ⅱ问】

, 与 值无关.

当 , 在 单调递增;

(1)若 , , 在 区间 , 函数 单调递增;

所以, 成立.

(2)若 , ,

又因为 , 所以

当 , , 函数 单调递减,所以,.

综上可知: 的取值范围是 .


【提炼与提高】

这是一个入门级的高考题,适合用作同步补充练习。

以下几点请留意:

分类讨论

本题中,导函数 是一个增函数。如果 为正,就好办;但如果 为负,就要另想办法。这就需要分类讨论。

放缩操作

在讨论存在性问题时,我们对于精确的取值并不感兴趣,使用一系列不等式进行放缩处理,迅速地完成定性讨论,是常用的操作。

以本题为例,用到了以下不等式:

平时多总结,遇到复杂问题就不慌。


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