并查集（解释和C++模板）

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前言

并查集是一种树形的数据结构，顾名思义，它用于处理一些不交集的合并及查询问题(可以判断两个结点之间是否连通）。 它支持两种操作：

查找（Find）：确定某个元素处于哪个子集；
合并（Union): 将两个集合合并一个集合

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提示：以下是本篇文章正文内容，下面案例可供参考

一、结构定义及初始化

假定初始有N个结点，每一个结点都是独立。那么，怎么表示独立呢。我们定义一个father数组，表示每个结点所在集合的根节点，因为刚开始都是独立的，所以每个数组元素的值都是它自己的下标。举个例子：0号结点father[0] = 0, 1号结点father[1] = 1…依次类推，来进行初始化。如下图（以6个结点为例），刚开始每个结点状态，我们先对他们进行初始化。

class uonionFind{
	public:
		vector<int> father; //每个结点的所在集合的根结点 
		vector<int> size;  //每个结点所在集合的结点数，因为要查找根结点，所以只需要维护根所在的下标就行 
		int setCount;  //当前连通分量的个数 
		int n;
		//并查集初始化 
		unionFind(int _n): father(_n), size(_n, 1), n(_n), setCount(_n) {
  					  iota(father.beigin(), father.end(), 0);
		}
};

二、查找结点所在集合根节点

	int find(int x) {
			if(father[x] == x) return x;
			//路径压缩：让每个结点直接与根结点相连而不是间接相连，如果间接相连很可能树的深度很大，查找时间复杂度会大。
			return father[x] = find(father[x]);
		}

三、合并

每次操作时根据实际情况我们都会将两个结点连在一起：例如：
1.结点2和4连在一起，先查找他们的根节点：father[2] = 2, father[4] = 4,发现他们没有连通，所以合并（father[2] = 4）：

2.结点0和4连在一起(因为father[0] = 0, father[4] = 4, 所以两个结点相连）father[0] = 4。
3.结点2和0连在一起，先查找他们两个的根结点发现都是4，所以他们已经相连不用再进行操作了。以下是合并的代码：

bool unite(int x, int y) {
			//查找X和y结点的所在集合的根节点 
			x = find(x);
			y = find(y);
			//如果两个结点已经在相连 
			if(x == y) {
				cout << x <<"和"<<y<<"已经相连"<<endl;
				return false; 
			}
		 	//优先将小的集合放到大的集合 
		 	if(size[x] <= size[y]) swap(x, y);
		 	father[y] = father[x];
		 	//修改集合元素个数 
			 size[x] += size[y];
			 --setCount; //连通分量数减一 
			return true;
		}

四、路径压缩解释

如果在查找代码中使用以下代码

int find(int x) {
	if(father[x] == x) return x;
	return find(father[x]);
}

举个例子：

这是相连结点关系，
结点0， 2， 4所在集合的根结点为3
当我们查找的时候：查找0的时候需要3次，查找2的时候需要2次；当数据大的时候，时间复杂度最坏情况为O（N），因为在查找的时候一直是这个关系。
而当我们使用路径压缩时：当我们在查找的过程中就会变成：

这样在下次查找的时候就可以在时间复杂度O（1）的情况下找到。

五、整体模板

class uonionFind{
	public:
		vector<int> father; //每个结点的所在集合的根结点 
		vector<int> size;  //每个结点所在集合的结点数，因为要查找根结点，所以只需要维护根所在的下标就行 
		int setCount;  //当前连通分量的个数 
		int n;
		//并查集初始化 
		unionFind(int _n): father(_n), size(_n, 1), n(_n), setCount(_n) {
  					  iota(father.beigin(), father.end(), 0);
		}
		
		//查找 
		int find(int x) {
			if(father[x] == x) return x;
			return father[x] = find(father[x]);
		} 
		
		
		bool unite(int x, int y) {
			//查找X和y结点的所在集合的根节点 
			x = find(x);
			y = find(y);
			//如果两个结点已经在相连 
			if(x == y) {
				cout << x <<"和"<<y<<"已经相连"<<endl;
				return false; 
			}
		 	//优先将小的集合放到大的集合 
		 	if(size[x] <= size[y] ) swap(x, y);
		 	father[y] = father[x];
		 	//修改集合元素个数 
			 size[x] += size[y];
			 --setCount; //连通分量数减一 
			return true;
		}
};

总结

每次使用时都需要查找此结点的根节点，并进行路径压缩，因为如果两个集合相连时，在合并操作只有根节点相连，他们各自集合的孩子结点都还是他们各自两个，如果直接调用father来判断是否已经连通，则会出错。
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