《数据结构》学习笔记

1.算法分析的两个主要任务：正确性（不变性 + 单调性） + 复杂度。

2.复杂度分析的主要方法：

• 迭代：级数求和；
• 递归：递归跟踪 + 递推方程
• 猜测 + 验证

3.级数：

（1）算术级数：与末项平方同阶
$$T(n)=1+2+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}=O(n^2)$$
（2）幂方级数：比幂次高出一阶
∑ k = 0 n k d ≈ ∫ 0 n x d + 1 d x = 1 d + 1 x d + 1 ∣ 0 n = 1 d + 1 n d + 1 = O ( n d + 1 ) \sum \limits _{k=0} ^ n k^d \approx \int _0 ^n x^{d+1} \text{d} x = \frac{1}{d+1} x^{d+1} \bigg|_0^n = \frac{1}{d+1} n^{d+1} = O(n^{d+1}) \notag k=0∑n​kd≈∫0n​xd+1dx=d+11​xd+1 ​0n​=d+11​nd+1=O(nd+1)
例如：
$$\begin{array}{rl}& T_2(n)=1^2+2^2+\cdots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=O(n^3)\\ & T_3(n)=1^3+2^3+\cdots +n^3=\frac{n^2(n+1{)}^2}{4}=O(n^4)\\ & T_4(n)=1^4+2^4+\cdots +n^4=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}=O(n^5)\end{array}$$
（3）几何级数：与末项同阶
$$T_a(n)=a^0+a^1+\cdots +a^n=\frac{a^{n+1}-1}{a-1}=O(a^n)$$
例如：
$$1+2+4+\cdots +2^n=2^{n+1}-1=O(2^{n+1})=O(2^n)$$
（4）收敛级数：
$$\begin{array}{rl}& \frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+\cdots +\frac{1}{(n-1)\times n}=1-\frac{1}{n}=O(1)\\ & 1+\frac{1}{2^2}+\cdots +\frac{1}{n^2}<1+\frac{1}{2^2}+\cdots +=\frac{{\pi }^2}{6}=O(1)\\ & \frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{15}+\frac{1}{24}+\frac{1}{26}+\frac{1}{31}+\frac{1}{35}+\cdots =1=O(1)\end{array}$$
（5）两个重要级数：

• 调和级数：

$$\begin{array}{rl}& h(n)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}=\Theta (\log n)\end{array}$$

• 对数级数：

$$\log 1+\log 2+\log 3+\cdots +\log n=\log (n!)=\Theta (n\log n)$$

4.一些循环的复杂度估计：

（1）循环体如下：

for (int i = 1; i < n; i <<= 1)
    for (int j = 0; j < i; j++)
        O1_Operation(i, j);

其时间复杂度的计算如下：
$$\begin{array}{rl}\text{几何级数：}& \\ & 1+2+4+\cdots +2^{\lfloor {\log }_2(n-1)\rfloor }\\ =& \sum _{k=0}^{\lfloor {\log }_2(n-1)\rfloor }{2}^k(\text{let}k={\log }_{2}i)\\ =& 2^{\lceil {\log }_{2}n\rceil }-1\\ =& O(n)\end{array}$$
（2）前置知识：数列 $\{n\cdot 2^n\}$ 的前 $n$ 项和：$S_n=(n-1)\cdot 2^{n+1}+2$

循环体如下：

for (int i = 0; i <= n; i++)
    for (int j = 1; j < i; j += j)
        O1_Operation(i, j);

时间复杂度的计算如下：
$$\begin{array}{rl}\text{几何级数：}& \sum _{k=0}^n\lceil {\log }_{2}i\rceil =O(n\log n)\\ & (i=0,1,2,3\sim 4,5\sim 8,9\sim 16,\cdots )\\ =& 0+0+1+2\times 2+3\times 2^2+4\times 2^4+\cdots \\ =& \sum _{k=0\cdots \log n}(k\times 2^{k-1})\\ =& O(\log n\times 2^{\log n})\end{array}$$
5.算法正确性的证明：（以起泡排序为例）

• 不变性：经 $k$ 轮扫描交换后，最大的 $k$ 个元素必然就位；
• 单调性：经 $k$ 轮扫描交换后，问题规模缩减至 $n-k$；
• 正确性：经至多 $n$ 趟扫描后，算法必然终止，且能给出正确解答。

6.封底估算（Back-Of-The-Envelope Calculation）：

（1）1 day = 24h x 60min x 60sec $\approx$ 25 x 4000 = 10^5 sec