各种不定积分的技巧

前言

积分对于理工科的人来说，可谓一种基本技能。

在物理学上，积分是求解函数面积、体积、质心、转动惯量等物理量的基本工具。

在数学上，积分概念的引入，催生了诸如微分方程、无穷级数、微分几何、复变函数等数学分支，丰富了数学的内涵，推动了数学的发展。

在实际应用中，定积分可以计算具体的值，具有实际价值。而不定积分则可以用来寻找原函数，为求解定积分提供了便利。两者在物理学、工程学、经济学等领域中都有着广泛的应用。

本文就来探讨一些计算不定积分的技巧。

基础积分公式

这里先给出一些比较基础的积分公式。有了这些积分公式，这些公式是基础中的基础。文末有一张比较全的基本积分表。

$\int kdx=kx+C$

$\int x^{a}dx=\frac{1}{a+1}{x}^{a+1}+C,a\ne -1$

$\int \frac{1}{x}dx=ln|x|+C$

$\int e^{x}dx=e^x+C$

$\int cosxdx=sinx+C$

$\int sinxdx=-cosx+C$

$\int se{c}^{2}xdx=tanx+C(secx=\frac{1}{cosx})$

$\int cs{c}^{2}dx=-cotx+C(cscx=\frac{1}{sinx})$

各种不定积分的技巧

凑微分法

公式

$\int f^{\prime }(x)dx=\int df(x)=f(x)+C$
想办法把要积分的项转化为某个函数的导数的形式，然后利用基本积分公式求解。

例子

1.$\int \frac{1}{(x-1{)}^2}dx$

$=\int (x-1{)}^{-2}d(x-1)$

$=-\frac{1}{x-1}+C$

2.$\int x{e}^{x^2}dx$

$=\frac{1}{2}\int e^{x^2}d{x}^2$

$=\frac{1}{2}{e}^{x^2}+C$

3.$\int \frac{1}{e^x+1}dx$

$=\int 1-\frac{e^x}{e^x+1}dx=\int dx-\int \frac{e^x}{e^x+1}dx=x-\int \frac{1}{e^x+1}d(e^x+1)=x-ln(e^x+1)+C$

4.$\int tanxdx$

$=\int \frac{sinx}{cosx}dx=\int \frac{1}{cosx}d(-cosx)=-\int \frac{1}{cosx}d(cosx)=-ln|cosx|+C$

分部积分法

公式

$\int udv=uv-vdu$
按照“反对幂指三”的原则，选取顺序靠后的函数的$dx$凑成$dv$

“反对幂指三”即反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数。

公式推导

$(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$

$\int (uv{)}^{\prime }dx=\int u^{\prime }vdx+\int u{v}^{\prime }dx$

$\int d(uv)=\int vdu+\int udv$

$uv=\int vdu+\int udv$

$\int udv=uv-vdu$

例子

1.$\int lnxdx$

$=xlnx-\int xd(lnx)=xlnx-\int x\ast \frac{1}{x}dx=xln-x+C$

2.$\int xlnxdx$

$=\frac{1}{2}\int lnxd{x}^2=\frac{1}{2}{x}^{2}lnx-\frac{1}{2}\int x^{2}d(lnx)=\frac{1}{2}{x}^{2}lnx-\frac{1}{2}\int xdx=\frac{1}{2}{x}^{2}lnx-\frac{1}{4}{x}^2+C$

3.$\int x{e}^{x}dx$

$=\int xd{e}^x=x{e}^x-\int e^{x}dx=x{e}^x-e^x+C$

4.$\int e^{x}sinxdx$

$=\int sinxd{e}^x=e^{x}sinx-\int e^{x}dsinx=e^{x}sinx-\int e^{x}cosxdx=e^{x}sinx-\int cosxd{e}^x=e^{x}sinx-e^{x}cosx+\int e^{x}dcosx=e^{x}sinx-e^{x}cosx-\int e^{x}sinxdx$

$2\int e^{x}sinxdx=e^{x}sinx-e^{x}cosx$

$\int e^{x}sinxdx=\frac{1}{2}{e}^x(sinx-cosx)$

换元法

普通换元

$\int \frac{sin\sqrt{x}}{\sqrt{x}}dx$

令$t=\sqrt{x}$，那么$x=t^2$，$dx=2tdt$

原式$=\int \frac{sint}{t}2tdt=2\int sintdt=-2cost+C=-2cos\sqrt{x}+C$

三角换元

公式

三角函数换元主要利用下面两个公式进行换元：
$si{n}^{2}x+co{s}^{2}x=1$
$1+ta{n}^{2}x=se{c}^{2}x$

例子

1.$\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx$

令$x=asint$，则$t=arcsin(\frac{x}{a})$，$dx=acostdt$

原式$=\int \frac{acost}{\sqrt{a^2-a^{2}si{n}^{2}t}}dt=\int \frac{acost}{\sqrt{a^{2}co{s}^{2}t}}\int dt=t+C=arcsin(\frac{x}{a})+C$

注：此处默认$a>0$，且不妨令$-\frac{\pi }{2}<t<\frac{\pi }{2}$，于是有$\sqrt{a^{2}co{s}^{2}t}=|acost|=acost$

2.$\int \frac{1}{a^2+x^2}dx$

令$x=atant$，则$t=arctan(\frac{x}{a})$，$dx=ase{c}^{2}tdt$

原式$=\int \frac{ase{c}^{2}t}{a^2+a^{2}ta{n}^{2}t}dt=\frac{1}{a}\int dt=\frac{1}{a}arctan(\frac{x}{a})+C$

二次分式的处理

1.$\int \frac{1}{x^2+x+1}dx$

$=\int \frac{1}{(x+\frac{1}{2}{)}^2+\frac{3}{4}}dx=\frac{2\sqrt{3}}{3}arctan(\frac{2\sqrt{3}}{3}(x+\frac{1}{2}))+C$

2.$\int \frac{x+1}{x^2+x+1}dx$

$=\int \frac{x+\frac{1}{2}}{(x+\frac{1}{2}{)}^2+\frac{3}{4}}dx+\int \frac{\frac{1}{2}}{(x+\frac{1}{2}{)}^2+\frac{3}{4}}dx$

$=\frac{1}{2}\int \frac{1}{(x+\frac{1}{2}{)}^2+\frac{3}{4}}d[(x+\frac{1}{2}{)}^2+\frac{3}{4}]+\frac{1}{2}\int \frac{1}{(x+\frac{1}{2}{)}^2+\frac{3}{4}}dx$

$=\frac{1}{2}ln[(x+\frac{1}{2}{)}^2+\frac{3}{4}]+\frac{\sqrt{3}}{3}arctan(\frac{2\sqrt{3}}{3}(x+\frac{1}{2}))+C$

$=\frac{1}{2}ln(x^2+x+1)+\frac{\sqrt{3}}{3}arctan(\frac{2\sqrt{3}}{3}(x+\frac{1}{2}))+C$

有理函数积分

公式

形如$f(x)=\frac{a_0{x}^m+a_1{x}^{m-1}+\cdots +a_{m-1}x+a_m}{x^n+b_1{x}^{n-1}+\cdots +b_{n-1}x+b_n}$的函数被称为有理函数。

只考虑$m<n$的情况。对分母做因式分解，一定可以分解成多个一次多项式和多个二次多项式的乘积。假设分母因式后的结果为
$(x+A_1{)}^{p_1}(x+A_2{)}^{p_2}\cdots (x+A_M{)}^{p_M}(x^2+B_{1}x+C_1{)}^{q_1}(x^2+B_{2}x+C_2{)}^{q_2}\cdots (x^2+B_{N}x+C_N{)}^{q_N}$
那么$f(x)$就可以分解成若干项简单真分式的和
$$\begin{array}{rl}f(x)=& \frac{r_{11}}{x+A_1}+\frac{r_{12}}{(x+A_1{)}^2}+\cdots +\frac{r_{1p_1}}{(x+A_1{)}^{p_1}}+\\ & \frac{r_{21}}{x+A_2}+\frac{r_{22}}{(x+A_2{)}^2}+\cdots +\frac{r_{2p_2}}{(x+A_2{)}^{p_2}}+\cdots +\\ & \frac{r_{M1}}{x+A_M}+\frac{r_{M2}}{(x+A_M{)}^2}+\cdots +\frac{r_{M{p}_M}}{(x+A_M{)}^{p_M}}+\\ & \frac{c_{11}x+d_{11}}{x^2+B_{1}x+C_1}+\frac{c_{12}x+d_{12}}{(x^2+B_{1}x+C_1{)}^2}+\cdots +\frac{c_{1q_1}x+d_{1q_1}}{(x^2+B_{1}x+C_1{)}^{q_1}}+\\ & \frac{c_{21}x+d_{21}}{x^2+B_{2}x+C_2}+\frac{c_{22}x+d_{22}}{(x^2+B_{2}x+C_2{)}^2}+\cdots +\frac{c_{2q_2}x+d_{2q_2}}{(x^2+B_{2}x+C_2{)}^{q_2}}+\cdots +\\ & \frac{c_{N1}x+d_{N1}}{x^2+B_{N}x+C_N}+\frac{c_{N2}x+d_{N2}}{(x^2+B_{N}x+C_N{)}^2}+\cdots +\frac{c_{N{q}_N}x+d_{N{q}_N}}{(x^2+B_{N}x+C_N{)}^{q_N}}\end{array}$$

分解成简单真分式之后，积分就都比较好求了。

例子

1.$\int \frac{1}{(x-1)(x-2)}dx$

根据公式，设$\frac{1}{(x-1)(x-2)}=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x-2}$

两边同乘$(x-1)(x-2)$，得到$1=a(x-2)+b(x-1)=(a+b)x-2a-b$

于是有$$\{\begin{array}{l}a+b=0\\ -2a-b=1\end{array}$$

解得
$$\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=1\end{array}$$

于是，原式$=-\int \frac{1}{x-1}dx+\int \frac{1}{x-2}dx=-ln|x-1|+ln|x-2|+C=ln|\frac{x-2}{x-1}|+C$

2.$\int \frac{x^2+x+7}{(x-1{)}^2(x^2+x+1)}dx$

根据公式，设$\frac{x^2+x+7}{(x-1{)}^2(x^2+x+1)}=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{(x-1{)}^2}+\frac{cx+d}{x^2+x+1}$

经计算，得出
$$\{\begin{array}{l}a=-2\\ b=3\\ c=2\\ d=2\end{array}$$

于是，原式$=-2\int \frac{1}{x-1}dx+3\int \frac{1}{(x-1{)}^2}dx+2\int \frac{x+1}{x^2+x+1}dx$

$=-2ln|x-1|-\frac{3}{x-1}+ln(x^2+x+1)+\frac{2\sqrt{3}}{3}arctan(\frac{2\sqrt{3}}{3}(x+\frac{1}{2}))+C$

基本积分表

最后，给大家送上一张基本积分表。有了这张积分表，本来一些很繁琐的运算就可以变成直接套公式了。

1.$\int kdx=kx+C$（$k$是常数）

2.$\int x^{a}dx=\frac{1}{a+1}{x}^{a+1}+C,a\ne -1$

3.$\int \frac{1}{x}dx=ln|x|+C$

4.$\int \frac{1}{1+x^2}dx=arctanx+C$

5.$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=arcsinx+C$

6.$\int cosxdx=sinx+C$

7.$\int sinxdx=-cosx+C$

8.$\int se{c}^{2}xdx=tanx+C(secx=\frac{1}{cosx})$

9.$\int cs{c}^{2}dx=-cotx+C(cscx=\frac{1}{sinx})$

10.$\int secxtanxdx=secx+C$

11.$\int cscxcotxdx=-cscx+C$

12.$\int e^{x}dx=e^x+C$

13.$\int a^{x}dx=\frac{a^x}{lna}+C$，$a>0$且$a\ne 1$

14.$\int shxdx=chx+C$

15.$\int chxdx=shx+C$

16.$\frac{1}{a^2+x^2}dx=arctan\frac{x}{a}+C$

17.$\int \frac{1}{x^2-a^2}dx=\frac{1}{2a}ln|\frac{x-a}{x+a}|+C$

18.$\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=arcsin\frac{x}{a}+C$

19.$\int \frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}dx=ln(x+\sqrt{a^2+x^2})+C$

20.$\int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx=ln(x+\sqrt{x^2-a^2})+C$

21.$\int tanxdx=-ln|cosx|+C$

22.$\int cotxdx=ln|sinx|+C$

23.$\int secxdx=ln|secx+tanx|+C$

24.$\int cscxdx=ln|cscx-cotx|+C$

总结

本文总结了几种比较常见的不定积分技巧和一些经典积分例题。暂时没有涉及定积分以及二重积分的内容（主要是因为不定积分比较简单）。