函数与导数大题：2018年理数全国卷C题21

2018年理数全国卷C题21

已知函数 .

（1）若 ，证明∶当 时，；当 时，;

（2）若 是 的极大值点，求 .

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【解答问题1】

函数 的定义域为 .

若 ，则

函数 单调递减， 单调递增，;

函数 单调递增， 单调递增，;

证明完毕.

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【解答问题2】

令 ，则

若 是 的极大值点，则存在 , 使得 在区间 内， 单调递增，在区间 内，单调递减.

相应地，其一阶导函数 的值有以下特征：

;

;

;

其二阶导函数 存在两种情况：

① ;

② ;

本题中，, 情况 ① 不成立，所以情况 ② 成立。换言之， 同时也是 的极值点，必要条件是：

解得：

又∵

∴ 当 , 存在 , 使得

综上所述， 既是必要条件，也是充分条件.

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【提炼与提高】

对于极值问题，求导是个好办法。如果一次不行，还可以两次、三次。

需要注意的是： 仅仅是 函数 在 处取得极值的必要条件，而并非充分条件.

举例来说， 对于 来说 ， 是极值点；而对于 来说， 则不是极值点，而是一个驻点。

在高中阶段接触的函数都是连续函数。对于这类函数，根据一阶、二阶导数来判断其极值点的方法如下：

（1）如果 , 则 是函数 的极小值点；

（2）如果 , 则 是函数 的极大值点；

（3）如果 , 则需要根据更高阶的导函数来判断。举例说明如下。

例一：记

,

不是函数 的极值点，而是驻点；

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例二：记

;

是函数 的极值点；

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记住以上两个实例，遇到类似问题，可以依法炮制.