【算法】七夕祭

题目 

七夕节因牛郎织女的传说而被扣上了「情人节」的帽子。

于是 TYVJ 今年举办了一次线下七夕祭。

Vani 同学今年成功邀请到了 cl 同学陪他来共度七夕，于是他们决定去 TYVJ 七夕祭游玩。

TYVJ 七夕祭和 11 区的夏祭的形式很像。

矩形的祭典会场由 N 排 M 列共计 N×M 个摊点组成。

虽然摊点种类繁多，不过 cl 只对其中的一部分摊点感兴趣，比如章鱼烧、苹果糖、棉花糖、射的屋……什么的。

Vani 预先联系了七夕祭的负责人 zhq，希望能够通过恰当地布置会场，使得各行中 cl 感兴趣的摊点数一样多，并且各列中 cl 感兴趣的摊点数也一样多。

不过 zhq 告诉 Vani，摊点已经随意布置完毕了，如果想满足 cl 的要求，唯一的调整方式就是交换两个相邻的摊点。

两个摊点相邻，当且仅当他们处在同一行或者同一列的相邻位置上。

由于 zhq 率领的 TYVJ 开发小组成功地扭曲了空间，每一行或每一列的第一个位置和最后一个位置也算作相邻。

现在 Vani 想知道他的两个要求最多能满足多少个。

在此前提下，至少需要交换多少次摊点。

输入格式

第一行包含三个整数 N 和 M 和 T，T 表示 cl 对多少个摊点感兴趣。

接下来 T 行，每行两个整数 x,y，表示 cl 对处在第 x 行第 y 列的摊点感兴趣。

输出格式

首先输出一个字符串。

如果能满足 Vani 的全部两个要求，输出 both；

如果通过调整只能使得各行中 cl 感兴趣的摊点数一样多，输出 row；

如果只能使各列中 cl 感兴趣的摊点数一样多，输出 column；

如果均不能满足，输出 impossible。

如果输出的字符串不是 impossible， 接下来输出最小交换次数，与字符串之间用一个空格隔开。

数据范围

1 ≤ N , M ≤ 100000
0 ≤ T ≤ min(N ∗ M,100000)
1 ≤ x ≤ N
1 ≤ y ≤ M

输入样例：

2 3 4
1 3
2 1
2 2
2 3

输出样例：

row 1

思路 

由下图可知，行或列移动次数的最小值为：ans = |x1| + |x2| + |x3| + |x4| + ... + |xn-1| + |xn|

设a = (a1 + a2 + a3 + ... + an) / n 为平均值

则

a1 - x1 + x2 = a

a2 - x2 + x3 = a

a3 - x3 + x4 = a

......

an-1 - xn-1 + xn = a

an - xn + x1 = a

 由此可以推出

x1 = x1 - 0

x2 = x1 + a - a1

x3 = x2 + a - a2 = (x1 + a - a1) + a - a2 = x1 - a1 - a2 + 2*a

......

xn-1 = x1 - a1 - a2 - .... - an-2 + (n - 2) * a

xn = x1 - a1- a2 - a3 - ... - an-1 + (n - 1) * a

其中令cx

c1 = 0

c2 = a - a1

c3 = 2*a - a1 - a2

......

c(n-1) = (n - 2) * a - a1 - a2 - a3 - ... - an-2

cn = (n - 1) * a - a1 - a2 - a3 - ... an-2 - an-1

 因此原式为

ans = |x1 - c1| + |x1 - c2| + |x1 - c3| + |x1 - c4| + ... + |x1 - c(n-1)| + |x1 - cn|

原问题就被化为一个很经典的仓库选址问题，当x1 为 c1 ~ cn的中间值的时候ans为最小值。 

代码

#include
#define int long long
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int row[N],col[N],s[N],c[N];

int work(int n,int a[])
{
    for(int i = 1; i <= n; i ++) s[i] = s[i - 1] + a[i];// 行或列的前缀和
    
    if(s[n] % n) return -1;// 如果不能整除，则表示不能每行或每列店铺都相同
    
    int avg = s[n] / n;// 求出平均值
    

    for(int i = 1;i <= n; i ++) c[i] = s[i - 1] - (i - 1) * avg;
    
    sort(c + 1,c + n + 1);// 对c数组进行排序
    int res = 0;
    for(int i = 1; i <= n ; i ++) res += abs(c[i] - c[(n + 1) / 2]);// 由中位数确定最小值
    
    return res;// 返回行或列需要移动的次数
}

int32_t main()
{
    int n,m,cnt;
    cin >> n >> m >> cnt;// 输入场地大小和cl感兴趣的店铺数目
    while(cnt --)// 输入cl感兴趣的店铺地址
    {
        int x,y;
        cin >> x >> y;
        row[x] ++,col[y] ++;
    }
    
    int r = work(n,row);
    int c = work(m,col);
    
    if(r != -1 && c != -1) cout << "both " << r + c;
    else if(r != -1) cout << "row " << r;
    else if(c != -1) cout << "column " << c;
    else cout << "impossible";
    
    return 0;
}

难度：困难

时/空限制：1s / 64MB

总通过数：7881

总尝试数：21897

来源：《算法竞赛进阶指南》

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