立体几何之目：2007年理科数学海南卷题18

2007年理科数学海南卷题18

18.（本小题满分12 分）

如图，在三棱锥 中，侧面 与侧面 均为等边三角形，， 为 的中点.

（Ⅰ）证明∶ 平面 ;

（Ⅱ）求二面角 的余弦值.

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2007年理科数学海南卷题18

【解答第1问】

连接 .

∵ ， ∴ .

∵ 与 均为等边三角形，∴ 是等腰三角形;

而 , ∴

∵ , , ∴

∴

又∵ , ∴ , ∴

∵ , ∴ 平面 ;

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【解答第2问】

∵ , ∴ 平面 .

在平面 内的投影为

∴ 二面角 的余弦值为：

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【提炼与提高】

求二面角可以用几何法，也可以用向量法。

用几何法解答本题，简洁明了效率高。如果用向量法也是可以的，但计算量比较大。读者可以自行对比。

注意本题中的三角形。

等边三角形： ,

等腰直角三角形：

由一个等边三角形和三个等腰直角三角形构成的四面体，是一个常用模型。在本题中， 都是这样的四面体。

这一常用四面体在高考题中多次出现。一定要高度重视。

第1问的解答中，是把立体几何的知识与平面几何结合起来；把空间问题转化为平面上的问题来解决。这也是立体几何中一种基本的方法。

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【相关考题】

本题与以下考题是“姊妹题”。请读者自行体会。

2009年文科数学海南卷题18

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