何为算法之时间复杂度

时间复杂度

同空间复杂度相比，时间复杂度的分析要复杂一些。时间复杂度是指运行算法所需要的计算工作量，记作：
$$T(n)=O(f(n))$$
简单理解，时间复杂度就是执行语句的次数。也就是说，时间复杂度高则运行时间长，时间复杂度低则运行时间短。常见的时间复杂度有$$O(1)、O(n)、O(n^2)、O(2^n)和O(lo{g}_{2}n)$$等如下图所示
我们还能据此对算法进行分类。T(n)=O(1)类算法称作“常数时间算法”，T(n)=O(n)类算法称作“线性时间算法”，T(n)=$$O(lo{g}_{2}n)$$类算法称作“对数时间算法”等。除此之外，还有幂对数时间算法、次线性时间算法和线性对数时间算法等。这些就交给大家自己去想去讨论，正好检验一下自己是否已经掌握。

讲到这里还没有讲如何计算T(n)。不知道大家是否还记得空间复杂度的判别方法，如果不记得也没关系，毕竟T(n)和S(n)的计算完全不一样。

时间复杂度的计算方法

1. 先将每行代码的执行次数写下来，然后相加。
2. 将算式中的所有常数项去掉。
3. 保留算式中的最高阶项。
4. 去掉最高阶项的系数。

解读时间复杂度的计算方法

是不是没有看懂？笔者刚开始接触时间复杂度的时候也对其算法百思不解一脸懵逼，又是列式子又是一堆专业名词，差点被“绕晕”。不过，人生在勤，不索何获？在经过大量的练习和实际应用后，笔者终于参透并总结出了上面的时间复杂度的计算方法。和空间复杂度一样，用以下Python 代码来表示读者就能看明白了。

# 时间复杂度为1
a = 'Python'
# 时间复杂度为1
a = '1'
b = 'love'
c = 'you'
# 时间复杂度为n
for i in range(n):
    print(i)
# 时间复杂度为n^2
for i in range(n):
    for j in range(i):
        print(j)
# 时间复杂度为n^2
for i in range(n):
    for j in range(i):
        print((j))
#时间复杂度为n^3
for i in range(n):
    for j in range(n):
        for k in range(n):
            print(k)

注意

时间复杂度和空间复杂度一样，都只是算法运行时消耗时间的一个量度，而绝对
执行时间是无法计算的。

时间复杂度为$$lo{g}_n$$

是否觉得很简单 易如反掌？那就让我们继续学习下一个时间复杂度吧：

# 时间复杂度为(log n)
n = 64
while n >1 :
    n = n // 2  #取商
    print(n

运行结果

是否又觉得满腹疑团、如坠云雾？看，这段代码有一个 while 循环，而且每循环一次，n就要除以2然后取整，直到n不大于1。这个时候就应该想到log函数了，因这段代码和log函数的定义几乎一样。
因为
$$2^6=64$$
所以
$$lo{g}_{2}64=lo{g}_2{2}^6=6$$
由此可见，答案就是$$O(lo{g}_{2}n),即O(logn)。$$
由此我们可以得出结论：循环减半算法的时间复杂度为$$O(lo{g}_{2}n)$$
如果你实在理解不了这一段，那就记住结论吧。让我们继续看下一个时间复杂度$$O(2^n)$$的代码：

# 时间复杂度为2^n
def fib0nacci(n):
# 当n为负数时
   if n<0:
       return 'invalid n' # 返回'invalid n'的错误提示
   # 当n==0 和 n==1时
   elif n<2:
       return n   #返回 n本身
   return fib0nacci(n-1) +fib0nacci(n-2)  #返回前两项的和

这是一个超级经典的算法，叫斐波那契数列，后面的文章还会讲到它，这里只是先让大家有个印象。由于上述代码使用了递归策略，所以它的时间复杂度是高度为（n-1）的不完全二叉树的节点数，近似为$$O(n^2)$$。

注意

T(n) 是最坏情况复杂度。还有一种平均情况复杂度，一般在指定情况下使用。为了避免混淆，这里也不讲解，如果有兴趣可自行学习。

总结

了解了空间复杂度和时间复杂度之后，我们便可以据此对一个算法进行衡量。然而，所谓鱼和熊掌不可兼得，空间复杂度和时间复杂度也时常处在此消彼长的状况，这时候就需要我们选取一个平衡点，以达到最佳的效率。