一篇文章帮你梳理 FT 、FS、 DTFT、 DFS、 DFT

博主最近在复习数字信号处理，发现几个概念类的知识点属实有点迷糊，相信也有不少小伙伴发愁，今天一篇文章带大家梳理一下数字信号系统中FT 、FS、 DTFT、 DFS、 DFT都是些啥玩应，他们的含义区别联系作用都是什么。

先来一张总的框图，有一定基础的小伙伴应该能反应过来，不懂也没关系，看完这篇文章就会豁然开朗了。

目录

1、FS——傅里叶级数

2、FT———傅里叶变换

3、DTFT——离散时间傅里叶变换

4、DFT——离散傅里叶变换

5、DFS——离散傅里叶级数

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1、FS——傅里叶级数

  (1) 含义：在数学中，傅里叶级数是把类似波的函数表示成简单谐波的方式。更正式地说，对于满足狄利克雷定理的周期函数，其傅里叶级数是由一组正弦与余弦函数的加权和表示的方法。傅里叶级数与用来找出无周期函数的频率信息的傅里叶变换有密切的关系。

（2）定义式：

（3）连续周期信号— FS：时域周期 频域离散

2、FT———傅里叶变换

（1）含义：傅里叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。

（2）定义式： 它可以将一个 以时间t为自变量 的连续的信号 f(t) 转换为 以频率为自变量 的函数 F(jf)，该函数是复数形式的。

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• f(t) 是一个时域上连续的信号。
• t 从负无穷到正无穷积分。
• 频率f 连续，其得到的结果 F(jf) 也为频率域上连续的频谱。

(3) 连续非周期信号—FT：时域非周期 频域连续

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3、DTFT——离散时间傅里叶变换

（1）含义：离散时间傅里叶变换 (DTFT) 是傅里叶变换的进一步发展。然而，傅立叶变换将时间视为连续的，而离散时间傅立叶变换，顾名思义，将时间视为单个时刻的离散列表。

（2）定义式：

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（3）DTFT存在条件：x[n]—绝对可和

（4）性质：

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（5）离散非周期信号—DTFT：时域离散 频域周期

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4、DFT——离散傅里叶变换

（1）含义：离散傅里叶变换（DFT），是傅里叶变换在时域和频域上都呈现离散的形式，将时域信号的采样变换为在离散时间傅里叶变换（DTFT）频域的采样。在形式上，变换两端（时域和频域上）的序列是有限长的，而实际上这两组序列都应当被认为是离散周期信号的主值序列。即使对有限长的离散信号作DFT，也应当将其看作经过周期延拓成为周期信号再作变换。在实际应用中通常采用快速傅里叶变换（FFT）以高效计算DFT。

(2) 定义式：

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(3) 旋转因子：

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（4）性质：

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（5）用DFT进行谱分析各参数

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5、DFS——离散傅里叶级数

（1）含义：离散傅里叶级数（DFS）用于表示一个具有周期性的信号 x[n]，并且在信号周期内进行频域分解。

（2）DFS与DFT的关系：DFS系数是DFT的一种特殊情况，当信号是周期的时候，DFS和DFT之间有以下关系：

 如果 x[n] 是周期信号，其周期为 N，那么它的DFS系数  和 DFT系数 相等；

如果 x[n] 不是周期信号，那么DFS无法应用，因为DFS要求信号是周期的。

总结一下，DFT是一种将离散信号转换为离散频率域的工具，而DFS用于表示周期信号的频域分量。

（3）定义式：

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（4）离散周期信号—DFS：时域离散周期 频域离散周期

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