数据结构学习—图

1、什么是图？

​ 图是右顶点的有穷非空集合和顶点之间的集合组成 ，通常表示为：G（V,E），其中G表示一个图，V是图G的顶点的集合，E是图G中边的集合。我们只要记得，在图形结构中，结点之间的关系可以是任意的，因此图是多对多的关系。

2、图的各种定义

​ 无向边：若顶点V_i到V_j之间的边没有方向，则称这条边为无向边，用无序偶对（V_i,V_j）来表示。如果图中任意两个顶点之间的边都是无向边，则称该图为无向图。对于无向图G₁来说，G₁=（V₁,{E₁}），其中顶点集合V₁={A,B,C,D};边集合E₁={ (A,B),(B,C),(C,D),(D,A),(A,C)}。在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，则称该图为无向完全图。

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​ 有向边：若从顶点V_i到V_j的边有方向，则称这条边为有向边，也称弧。在有向图中，如果任意两个顶点之间都存在互为相反的两条弧，则称该图为有向完全图。 对于有向图G₂来说，G₂=（V₂，{E₂}），其中顶点集合V₂={A,B,C,D}；弧集合E₂={,,,}。

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​ 权：有些图的边或弧具有与它相关的数字，这种与图的边或弧相关的数叫权。这些权可以表示从一个顶点到另一个顶点的距离或耗费。这种带权的图通常称为网。

​ 子图：假设有两个图G=(V,{E})和G‘=(V',{E'}),如果 V⊆V' 且 E‘⊆E，则称G’为G的子图。

​ 度：顶点V的度是和V相关联的边的数目。

​ 路径的长度：指路径上的边或弧的数目。

​ 环：第一个顶点到最后一个顶点相同的路径称为回路或环。除了第一个顶点和最后一个顶点之外，其余顶点不重复出现的回路，称为简单回路或简单环。左图因为第一个顶点和最后一个顶点都是B,且C,D,A没有重复出现，因此是一个简单环。而右侧的环，由于顶点C的重复，它就不是简单环了。

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3、连通图相关

1、什么是连通图？

​ 在无向图G中，如果从顶点V到顶点V‘有路径，则称V和V’是连通的。如果对于图中任意两个顶点v_i、v_j∈E，v_i和v_j都是连通的，则称G是连通图。如图所示左侧A与E或F无路径，因此不是连通图，右侧顶点都是相互连通的，是连通图。

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2、连通分量

​ 无向图中的极大连通子图称为连通分量，注意连通分量的概念：

​ 1、要是子图。

​ 2、子图要是连通的。

​ 3、连通子图含极大顶点数。

​ 4、具有极大顶点数的连通子图包含依附于这些顶点的所有边。

​ 在有向图G中，如果对于每一对v_i、v_j∈V，v_i≠v_j，从v_i到v_j和从v_j到v_i都存在路径，则称G是强连通图。

4、图的遍历

1、什么是图的遍历？

​ 从图中某一顶点出发访问遍图中其余顶点，且使每一个顶点仅被访问一次，这一过程就叫做图的遍历。

2、深度优先遍历

​ 深度优先遍历，也称为深度优先搜索，简称DFS。首先访问出发点v，并将其标记为已访问过；然后依次从v出发搜索v的每个邻接点w。若w未曾访问过，则以w为新的出发点继续进行深度优先遍历，直至图中所有和源点v有路径相通的顶点(亦称为从源点可达的顶点)均已被访问为止。我自己的理解可以看作一个顺时针的前序遍历。

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3、广度优先遍历

​ 广度优先遍历，又称为广度优先搜索，简称BFS。广度优先遍历类似于树的层序遍历。

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5、思考题

1、有时间可以代码实现一下图的遍历。

2、有空研究下找连通网的最小生成树的两种算法，普里姆和克鲁斯卡尔算法。