CSP-S 2022提高组T1:假期计划

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[CSP-S 2022] 假期计划

题目描述

小熊的地图上有 n n n 个点,其中编号为 1 1 1 的是它的家、编号为 2 , 3 , … , n 2, 3, \ldots, n 2,3,,n 的都是景点。部分点对之间有双向直达的公交线路。如果点 x x x z 1 z_1 z1 z 1 z_1 z1 z 2 z_2 z2、……、 z k − 1 z_{k - 1} zk1 z k z_k zk z k z_k zk y y y 之间均有直达的线路,那么我们称 x x x y y y 之间的行程可转车 k k k 次通达;特别地,如果点 x x x y y y 之间有直达的线路,则称可转车 0 0 0 次通达。

很快就要放假了,小熊计划从家出发去 4 4 4不同的景点游玩,完成 5 5 5 段行程后回家:家 → \to 景点 A → \to 景点 B → \to 景点 C → \to 景点 D → \to 家且每段行程最多转车 k k k 次。转车时经过的点没有任何限制,既可以是家、也可以是景点,还可以重复经过相同的点。例如,在景点 A → \to 景点 B 的这段行程中,转车时经过的点可以是家、也可以是景点 C,还可以是景点 D → \to 家这段行程转车时经过的点。

假设每个景点都有一个分数,请帮小熊规划一个行程,使得小熊访问的四个不同景点的分数之和最大。

输入格式

第一行包含三个正整数 n , m , k n, m, k n,m,k,分别表示地图上点的个数、双向直达的点对数量、每段行程最多的转车次数。

第二行包含 n − 1 n - 1 n1 个正整数,分别表示编号为 2 , 3 , … , n 2, 3, \ldots, n 2,3,,n 的景点的分数。

接下来 m m m 行,每行包含两个正整数 x , y x, y x,y,表示点 x x x y y y 之间有道路直接相连,保证 1 ≤ x , y ≤ n 1 \le x, y \le n 1x,yn,且没有重边,自环。

输出格式

输出一个正整数,表示小熊经过的 4 4 4 个不同景点的分数之和的最大值。

样例 #1

样例输入 #1

8 8 1
9 7 1 8 2 3 6
1 2
2 3
3 4
4 5
5 6
6 7
7 8
8 1

样例输出 #1

27

样例 #2

样例输入 #2

7 9 0
1 1 1 2 3 4
1 2
2 3
3 4
1 5
1 6
1 7
5 4
6 4
7 4

样例输出 #2

7

提示

【样例解释 #1】

当计划的行程为 1 → 2 → 3 → 5 → 7 → 1 1 \to 2 \to 3 \to 5 \to 7 \to 1 123571 时, 4 4 4 个景点的分数之和为 9 + 7 + 8 + 3 = 27 9 + 7 + 8 + 3 = 27 9+7+8+3=27,可以证明其为最大值。

行程 1 → 3 → 5 → 7 → 8 → 1 1 \to 3 \to 5 \to 7 \to 8 \to 1 135781 的景点分数之和为 24 24 24、行程 1 → 3 → 2 → 8 → 7 → 1 1 \to 3 \to 2 \to 8 \to 7 \to 1 132871 的景点分数之和为 25 25 25。它们都符合要求,但分数之和不是最大的。

行程 1 → 2 → 3 → 5 → 8 → 1 1 \to 2 \to 3 \to 5 \to 8 \to 1 123581 的景点分数之和为 30 30 30,但其中 5 → 8 5 \to 8 58 至少需要转车 2 2 2 次,因此不符合最多转车 k = 1 k = 1 k=1 次的要求。

行程 1 → 2 → 3 → 2 → 3 → 1 1 \to 2 \to 3 \to 2 \to 3 \to 1 123231 的景点分数之和为 32 32 32,但游玩的并非 4 4 4 个不同的景点,因此也不符合要求。

【数据范围】

对于所有数据,保证 5 ≤ n ≤ 2500 5 \le n \le 2500 5n2500 1 ≤ m ≤ 10000 1 \le m \le 10000 1m10000 0 ≤ k ≤ 100 0 \le k \le 100 0k100,所有景点的分数 1 ≤ s i ≤ 10 18 1 \le s_i \le {10}^{18} 1si1018。保证至少存在一组符合要求的行程。

测试点编号 n ≤ n \le n m ≤ m \le m k ≤ k \le k
1 ∼ 3 1 \sim 3 13 10 10 10 20 20 20 0 0 0
4 ∼ 5 4 \sim 5 45 10 10 10 20 20 20 5 5 5
6 ∼ 8 6 \sim 8 68 20 20 20 50 50 50 100 100 100
9 ∼ 11 9 \sim 11 911 300 300 300 1000 1000 1000 0 0 0
12 ∼ 14 12 \sim 14 1214 300 300 300 1000 1000 1000 100 100 100
15 ∼ 17 15 \sim 17 1517 2500 2500 2500 10000 10000 10000 0 0 0
18 ∼ 20 18 \sim 20 1820 2500 2500 2500 10000 10000 10000 100 100 100

算法思想 - 暴力枚举

根据题目描述,要求的是从家出发去 4 4 4不同的景点游玩,完成 5 5 5 段行程后回家,在每段行程转车不超过 k k k次的情况下,经过的 4 4 4 个景点的分数之和的最大值。

  • 为了满足每段行程转车不超过 k k k次,需要预处理任意两段行程之间的是否满足要求,不妨设 s t ( i , j ) st(i,j) st(i,j)表示从景点 i → j i\to j ij是否满足转车不超过 k k k次。预处理的过程可以通过bfs实现。
  • 接下来暴力枚举 4 4 4不同的景点 a , b , c , d a,b,c,d a,b,c,d就可以拿到 75 75 75

时间复杂度

  • bfs预处理任意两端行程之间的是否满足要求,时间复杂度 O ( n × m ) O(n\times m) O(n×m)
  • 暴力枚举 4 4 4不同的景点的时间复杂度为 O ( n 4 ) O(n^4) O(n4)

代码实现

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 2505;
int n, m, k;
vector<int> g[N];
int st[N][N], dis[N];
LL w[N];
void bfs(int s)
{
    queue<int> q;
    memset(dis, 0x3f, sizeof dis);
    dis[s] = 0;
    q.push(s);
    while(q.size())
    {
        int u = q.front(); q.pop();
         //如果起点到u点的距离到达k+1,需要转车k次,就不能继续扩展了
        if(dis[u] == k + 1) continue;
        for(int v : g[u])
        {
            if(dis[v] > dis[u] + 1)
            {
                dis[v] = dis[u] + 1;
                st[s][v] = true; //从起点到v转车不超过k次
                q.push(v);
            }
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
    for(int i = 2; i <= n; i ++) scanf("%lld", &w[i]);
    for(int i = 0; i < m; i ++)
    {
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        g[a].push_back(b), g[b].push_back(a);
    }
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
        bfs(i);
    LL ans = 0;
    //暴力枚举4个不同的景点
    for(int a = 2; a <= n; a ++)
    {
        if(!st[1][a]) continue;
        for(int b = 2; b <= n; b ++)
        {
            if(!st[a][b]) continue;
            for(int c = 2; c <= n; c ++)
            {
                if(!st[b][c] || a == c) continue;
                for(int d = 2; d <= n; d ++)
                {
                    if(!st[d][1] || !st[c][d] || a == d || b == d) continue;
                    ans = max(ans, w[a] + w[b] + w[c] + w[d]);
                }
            }
        }
    }
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}

算法思想

从数据范围来分析, 5 ≤ n ≤ 2500 5 \le n \le 2500 5n2500,因此算法的时间复杂度应控制在 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2),也就是说至多枚举两个景点。对于行程 1 → a → b → c → d → 1 1 \to a \to b \to c \to d \to 1 1abcd1来说,可以枚举中间两个景点,也就是 b , c b,c b,c。那么如何确定 a a a d d d呢?

首先, a a a d d d要满足下面的条件:

  • a , b , c , d a,b,c,d a,b,c,d不能相同
  • 1 → a 1 \to a 1a的转车不超过 k k k次,同理 d → 1 d \to 1 d1的转车也不超过 k k k
  • a → b a \to b ab的转车不超过 k k k次,同理 c → d c \to d cd的转车也不超过 k k k

这里不妨设 f ( x ) f(x) f(x)表示所有与 1 1 1点转车不超过 k k k次、与 x x x点转车不超过 k k k次、并且不是 x x x的 所有景点的集合,那么 a ∈ f ( b ) a\in f(b) af(b) d ∈ f ( c ) d\in f(c) df(c)。通过bfs很容易构造出 f ( x ) f(x) f(x)

其次, f ( x ) f(x) f(x)需要保留所有满足条件的景点吗?例如 a ∈ f ( b ) a\in f(b) af(b),那么 f ( b ) f(b) f(b)需要保留所有与 1 1 1点转车不超过 k k k次、与 b b b点转车不超过 k k k次、并且不是 b b b的所有景点吗?

  • 由于要求的是景点的分数之和的最大值,因此应保留分数最大的景点
  • 另外, a a a c , d c,d c,d不能相同,为了避免在枚举过程中取得相同的景点,因此在 f ( b ) f(b) f(b)中需要保留满足条件的分数最大的 3 3 3个景点

时间复杂度

基于上述分析,对于 a a a d d d只需要枚举集合 f ( b ) f(b) f(b) f ( c ) f(c) f(c),由于每个集合只有 3 3 3个景点,总的时间复杂度为 O ( n 2 × 9 ) O(n^2\times 9) O(n2×9)

代码实现

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 2505;
int n, m, k;
vector<int> g[N];
//f[i]表示所有与1点转车不超过k次、与i点转车不超过k次、并且不是i的所有景点的集合
int st[N][N], dis[N], f[N][4];
LL w[N];
void bfs(int s, int f[])
{
    queue<int> q;
    memset(dis, 0x3f, sizeof dis);
    dis[s] = 0;
    q.push(s);
    while(q.size())
    {
        int u = q.front(); q.pop();
        if(dis[u] == k + 1) continue;
        for(int v : g[u])
        {
            if(dis[v] > dis[u] + 1)
            {
                dis[v] = dis[u] + 1;
                st[s][v] = true; //从起点到v转车不超过k次
                q.push(v);
                if(st[1][v]) //如果1到v转车不超过k次
                {
                    f[3] = v;
                    //插入排序向前调整
                    for(int i = 3; i > 0 && w[f[i]] > w[f[i - 1]]; i --)
                       swap(f[i], f[i - 1]);
                }
            }
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
    for(int i = 2; i <= n; i ++) scanf("%lld", &w[i]);
    for(int i = 0; i < m; i ++)
    {
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        g[a].push_back(b), g[b].push_back(a);
    }
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
        bfs(i, f[i]);
    LL ans = 0;
   
    for(int b = 2; b <= n; b ++)
    {
        for(int c = 2; c <= n; c ++)
        {
            if(!st[b][c]) continue;
            for(int i = 0; i < 3; i ++)
                for(int j = 0; j < 3; j ++)
                {
                    int a = f[b][i], d = f[c][j];
                    //a和d存在
                    if(a && d && a != d && a != c && b != d)
                        ans = max(ans, w[a] + w[b] + w[c] + w[d]);
                }
        }
    }
    
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}

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