代码随想录训练营第45天 | 70. 爬楼梯 （进阶）● 322. 零钱兑换 ● 279.完全平方数

70. 爬楼梯 （进阶）

题目链接：LeetCode - The World's Leading Online Programming Learning Platform

解法：

问题改为：一步一个台阶，两个台阶，三个台阶，.......，直到 m个台阶。问有多少种不同的方法可以爬到楼顶n呢？

1阶，2阶，.... m阶就是物品，楼顶n就是背包。每一阶可以重复使用，例如跳了1阶，还可以继续跳1阶。

问跳到楼顶有几种方法其实就是问装满背包有几种方法。这就是一个完全背包问题了！而且是一个排列问题。

解法与之前的题目一样，所以不赘述了。

边界条件：无

时间复杂度：O(nm)，m是每次可以跳1,2,...m步

空间复杂度：O(n)

class Solution(object):
    def climbStairs(self, n):
        dp = [0] * (n+1)
        dp[0] = 1
        for j in range(1, n+1):
            for step in [1, 2]:
                if j >= step:
                    dp[j] += dp[j-step]
        return dp[n]

322. 零钱兑换 

题目链接：https://leetcode.com/problems/coin-change

解法：

每种硬币的数量是无限的，可以看出是典型的完全背包问题。

1. 确定dp数组以及下标的含义

dp[j]：凑足总额为j所需钱币的最少个数为dp[j]

2. 确定递推公式

凑足总额为j - coins[i]的最少个数为dp[j - coins[i]]，那么只需要加上一个钱币coins[i]即dp[j - coins[i]] + 1就是dp[j]（考虑coins[i]）

所以dp[j] 要取所有 dp[j - coins[i]] + 1 中最小的。

递推公式：dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);

3. dp数组如何初始化

首先凑足总金额为0所需钱币的个数一定是0，那么dp[0] = 0;

考虑到递推公式的特性，dp[j]必须初始化为一个最大的数，否则就会在min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j])比较的过程中被初始值覆盖。

所以下标非0的元素都是应该是最大值。

4. 遍历顺序

本题求钱币最小个数，那么钱币有顺序和没有顺序都可以，都不影响钱币的最小个数。

所以本题并不强调集合是组合还是排列。

边界条件：无

时间复杂度：O(n * amount)，其中 n 为 coins 的长度

空间复杂度：O(amount)

class Solution(object):
    def coinChange(self, coins, amount):
        # 由于求最小数量，所以初始化为无穷大
        dp = [float("inf")] * (amount+1)
        # amount可以取0
        dp[0] = 0
        for c in coins:
            for j in range(c, amount+1):
                # 不是无穷大才可以进行状态转移
                if j - c != float('inf'):
                    dp[j] = min(dp[j], dp[j-c]+1)
        if dp[amount] == float('inf'):
            return -1
        return dp[amount]

279.完全平方数

题目链接：https://leetcode.com/problems/perfect-squares

解法：

这道题和上一题差不多。

需要注意的地方有：

1. 加入的数字是 i^2，而不是i；

2. 如果不能表示为完全平方数之和，那就返回0，而不是-1。这点和上一题不同。

边界条件：无

时间复杂度：O(n * √n)

空间复杂度：O(n)

class Solution(object):
    def numSquares(self, n):
        m = int(n ** 0.5)
        dp = [float('inf')] * (n+1)
        dp[0] = 0
        for i in range(1, m+1):
            # 一定要注意这里是 i*i，包括下面也是
            for j in range(i*i, n+1):
                dp[j] = min(dp[j], dp[j-i*i]+1)
        return dp[n]