高中奥数 2021-12-08

2021-12-08-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 复数与向量 张思汇 空间向量 P042 例题3）

(1)直线交平面于点,点在直线上,是垂直于平面的单位向量,试叙述的几何意义;

(2)在长方体中,,求点到平面的距离;

(3)第(2)小题的条件下,设、、分别为、和的中点,求证平面平行于平面.

分析与解

(1)当平面时,与的夹角为或,,所以;

当不垂直于平面时,过点作于点,设向量与,的夹角为,则.

所以可知为点到平面的距离.

(2)如图,建立空间直角坐标系,则,,,,,,,设且为平面的法向量.

图1

因为所以.

由此解得或

取,到平面的距离为

(3),,.

设,且为平面的法向量,,.

因为所以所以或

取.

又因为,显然,所以平面平于平面.

2021-12-08-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 复数与向量 张思汇 空间向量 P043 例题4）

如图所示,已知正四棱锥的底面边长为6,高为3,、、分别在、、上,且,,.

图2

(1)求证:平面并求出到平面的距离;

(2)求点到直线的距离;

(3)若、分别是和上的动点,求线段长度的最小值.

分析与解

(1)如图所示,建立空间直角坐标系,则,,,,,,,,设是上任一点.

因为,所以.

所以,,.

设为平面的一个单位法向量,且.

,,则

所以

由此解得

取,而,则.

所以平面,又,所以到平面的距离为.

(2),,所以,即,点到的距离即为线段的长度,故点到的距离.

(3)因为,所以N.同理,.所以.

故,时,.