AcWing 1209.带分数（代码 + 思路详解）

[题目概述]

100可以表示为带分数的形式：$100=3+69258/714$还可以表示为：$100=82+3546/197$
注意特征：带分数中，数字 1∼9分别出现且只出现一次（不包含 0）。
类似这样的带分数，100有 11 种表示法。

输入格式

一个正整数。

输出格式

输出输入数字用数码 1∼9不重复不遗漏地组成带分数表示的全部种数。

数据范围

1 ≤ N < $10^6$

输入样例1：

100

输出样例1：

11

输入样例2：

105

输出样例2：

6

• 分析问题

  • 在我们读完题后，感觉找不到切入点，这很正常。我们再思考一下，可以将等式右边的三个数命名为a, b, c;题目说在这三个数中1 ~ 9 这九个数字必须出现并且只能出现一次，分析到这里感觉有点排列型枚举的意思。那我们如果将这三个数合起来看是不是就是在一个数中1 ~ 9 必须出现且仅出现一次。那这样就将题目转化为：将1 ~ 9 进行全排列，再将结果分成三个数，这三个数满足题目所给条件的情况有几种。

  • 部分代码解析
    1.首先我们需要给这九个数进行全排列（就是递归的排列型枚举）

    int st[N], used[N];// st数组是保存每一位上放的数，used数组是看每个数是否被使用过
    for (int i = 1; i <= 9; i ++) {
    	if (!used[i]) {
    		st[u] = i;
    		used[i] = true;
    		dfs(u + 1);
    		
    		st[u] = 0;
    		used[i] = false;
    	}
    }
    

    2.当到达临界时，需要将其分成三个部分

    // 临界情况
    if (u > 9) {
    	// 开始将数分成a,b,c三个部分
    	//因为 n < 10^6，所以第一个数最多有六位，而第三个数至少有一位，所以j 最多枚举到8
    	for (int i = 1; i <= 6; i ++) {
    		for (int j = i + 1; j <= 8; j ++) {
    			int a = number(1, i);
    			int b = number(i + 1, j);
    			int c = number(j + 1, 9);
    			if (n * c == a * c + b)
    				cnt ++;
    		}
    	}
    }
    

    // l，r分别表示起始和终止索引
    int number(int l, int r) {
    	int res = 0;
    	for (int i = l; i <= r; i ++) {
    		res = res * 10 + st[i];
    	}
    	return res;
    }
    

• 完整代码

#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;
const int N = 10;
int n, cnt;
int st[N], used[N];// st数组是保存每一位上放的数，used数组是看每个数是否被使用过

int number(int l, int r) {
	int res = 0;
	for (int i = l; i <= r; i ++) {
		res = res * 10 + st[i];
	}
	return res;
}

void dfs(int u) {
	// 临界情况
	if (u > 9) {
		// 开始将数分成a,b,c三个部分
		for (int i = 1; i <= 6; i ++) {
			for (int j = i + 1; j <= 8; j ++) {
				int a = number(1, i);
				int b = number(i + 1, j);
				int c = number(j + 1, 9);
				if (n * c == a * c + b)
					cnt ++;
			}
		}
	}

	for (int i = 1; i <= 9; i ++) {
		if (!used[i]) {
			st[u] = i;
			used[i] = true;
			dfs(u + 1);

			st[u] = 0;
			used[i] = false;
		}
	}
}

int main () {
	cin >> n;
	dfs(1);
	cout << cnt;
	return 0;
}

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