AcWing 10. 有依赖的背包问题

题意

有 N 个物品和一个容量是 V 的背包。

物品之间具有依赖关系，且依赖关系组成一棵树的形状。如果选择一个物品，则必须选择它的父节点。

如下图所示：

如果选择物品5，则必须选择物品1和2。这是因为2是5的父节点，1是2的父节点。

每件物品的编号是 i，体积是 vi，价值是 wi，依赖的父节点编号是 pi。物品的下标范围是 1…N。

求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，且总价值最大。

输出最大价值。

思路

有依赖的背包问题

状态表示：$f[i][j]$ 表示 以 $i$ 为根的子树在体积为 $j$ 的情况下 物品价值的最大值

状态计算： 枚举分配多少背包空间给 以节点 $i$ 为父节点的子节点

详解看注释

代码

#include
#define INF 0x3f3f3f3f
#define mod 998244353
#define endl '\n'
//#define int long long
using namespace std;
inline int gcd(int a, int b) { return b ? gcd(b, a%b) : a; }
inline int lowbit(int x) { return x & -x; }


typedef long long LL;
typedef pair<int, int>PII;
const int N = 105;

int n, m;
vector<int>vec[N];
int v[N], w[N];
int f[N][N]; // f[i][j] 表示 以 i 为根的子树 体积为 j 时物品价值最大值

void dfs(int u) {
	for (int i = 0; i < vec[u].size(); ++i) { //枚举物品
		int son = vec[u][i];
		dfs(son);

		for (int j = m - v[u]; j >= 0; ++j) { // 枚举体积
			for (int k = 0; k <= j; ++k) { // 枚举决策 (分给子树多少体积)
				f[u][j] = max(f[u][j], f[u][j - k] + f[son][k]);
			}
		}
	}
	// 将当前点 u 加入
	for (int i = m; i >= v[u]; ++i) {
		f[u][i] = f[u][i - v[u]] + w[u];
	}

	for (int i = 0; i < v[u]; ++i)f[u][i] = 0; //体积小于 根节点 v[u] 时 一定为0
	
}

void solve() {
	cin >> n >> m;

	int root = 0;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {// 建树
		int p;
		cin >> v[i] >> w[i] >> p;
		if (p == -1)root = i;
		else vec[p].push_back(i);
	}

	dfs(root);


	cout << f[root][m] << endl;
}

signed main() {
	//int t; cin >> t;
	//while(t--)
		solve();

	return 0;
}