拓展欧几里德算法

拓展欧几里德算法

对贝祖等式：ax+by=gcd(a,b);  一定存在整数解，求x最小的整数解x,y (x,y可以是负数)

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstdlib>

#include<cstring>

#include<algorithm>



using namespace std;



const int maxn=1000100;

const int INF=(1<<28);



/**

求解贝祖等式ax+by=gcd(a,b)的最小整数解(x最小)

*/

int a,b;

int x,y;



int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)

{

    if(b==0){

        x=1;y=0;

        return a;

    }

    int r=exgcd(b,a%b,x,y);

    int t=y;

    y=x-a/b*y;

    x=t;

    return r;

}



int main()

{

    while(cin>>a>>b){

        exgcd(a,b,x,y);

        cout<<"x="<<x<<endl;

        cout<<"y="<<y<<endl;

    }

    return 0;

}

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拓展欧几里德的应用如下

1，解不定等式：px+qy=r

思路：显然，当且仅当gcd(p,q)%r==0时有整数解。令d=gcd(p,q)，两边同时乘以r/d，再进行exgcd解，最后将解乘以d/r即可

代码略。。

2，解模线性同余方程：ax=b(mod n)

思路：容易知道，即解ax+ny=b中的x，显然，当且仅当gcd(a,n)%b==0时有解。方法同上，但需将解mod n，代码如下：

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstdlib>

#include<cstring>

#include<algorithm>



using namespace std;



const int maxn=1000100;

const int INF=(1<<28);



/**

求解模线性同余方程：ax=b(mod n)的最小整数解

*/

int a,b,n;

int x,y;



int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)

{

    if(b==0){

        x=1;y=0;

        return a;

    }

    int r=exgcd(b,a%b,x,y);

    int t=y;

    y=x-(a/b)*y;

    x=t;

    return r;

}



bool mod_linear_equation(int a,int b,int n)

{

    int d=exgcd(a,n,x,y);

    if(b%d) return false;

    x=x*(b/d)%n;///最小解

    x=(x%(n/d)+(n/d))%(n/d); ///最小正整数解

    for(int i=1;i<d;i++) cout<<(x+i*(n/d))%n<<endl;///打印所有解

    return true;

}



int main()

{

    while(cin>>a>>b>>n){

        if(mod_linear_equation(a,b,n))

            cout<<"x="<<x<<endl;

        else cout<<"no solve"<<endl;

    }

    return 0;

}

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3，求解模的逆元，现在没学，以后补上

更多介绍：http://www.acmerblog.com/extend-gcd-5610.html