2.四元数群，四元数代数

四元数群是哈密顿在1843年发现的，由8个元素构成满足下面关系

1为恒等元，其他三个元素，自乘为-1，两两结合，正序为第三个元素，逆序为正序乘-1，三个顺序结合也为-1。其实嘛，从这里就感觉和外代数有相似之处，反对称性。

乘法表，知道了乘法表就完全知晓了群的结合关系，也就完全知晓了群的代数结构。对角线上为1的是二阶元素（恒等元1自身除外），对角线上是-1的就是四阶元素。然后是交换性，如果是对称的矩阵或者数表，就是交换群。这个群显然是不交换的。将交换的部分提取出来构成子乘法表，就是中心子群的乘法表（中心子群中的元素与群中所有元素交换）。这里的中心子群就只含。

四元数的子群包括，平凡群，二阶循环群，三个四阶循环群。

考虑一个向量空间，其中的元素称之为四元数，由四个实数构成，可分为标量部分和向量部分

这个向量空间定义了乘法后就变成了四元数的结合代数，记作

$\begin{aligned}a b &=\left(a_{0} b_{0}-a_{1} b_{1}-a_{2} b_{2}-a_{3} b_{3}\right) \\&+\left(a_{0} b_{1}+a_{1} b_{0}+a_{2} b_{3}-a_{3} b_{2}\right) i \\&+\left(a_{0} b_{2}+a_{2} b_{0}+a_{3} b_{1}-a_{1} b_{3}\right) j \\&+\left(a_{0} b_{3}+a_{3} b_{0}+a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}\right) k\end{aligned}$

其中

其实就是通常的标积和矢积。

历史上，这两种乘积由吉布斯得到，通过将四元数的标量部分取作0，由四元数乘法中分离出来的。

有意思，过去是为了简化，现在又返回复杂的形式了，简单不一定是本质。

四元数代数构成了一个非交换的域，并且将实数和复数作为他的特例。四元数的共轭，模的平方和模定义为

并且有以下性质

然后是标量部分，满足乘法的交换律。可推广至有限情形。

$\begin{equation}\begin{array}{c}a^{-1}=\frac{a_{c}}{a a_{c}} \\\left|a^{-1}\right|^{2}=\frac{a_{c}}{a a_{c}}\left(\frac{a}{a a_{c}}\right)=\frac{1}{|a|^{2}} \\\left(a_{1} a_{2} \cdots a_{n}\right)^{-1}=\frac{\left(a_{1} a_{2} \cdots a_{n}\right)_{c}}{\left|a_{1} a_{2} \cdots a_{n}\right|^{2}}=a_{n}^{-1} a_{n-1}^{-1} \cdots a_{1}^{-1}\end{array}\end{equation}$

出现了显示问题，影响不大。

逆元的构造是通过与自共轭乘积为模平方来构造的。逆元的模平方，取共轭正好凑成一标量。然后是逆运算的性质，同共轭一样，两两构成配合对，产生恒等元而消去，和函数复合也类似。其实取逆运算都是这样构造的。都是要从不交换的量中构造出交换的量，从而实现量的消去或者运算顺序的改变。或许可以去看看非交换代数来获得更多的理解。

四元数除法，本质上是求解方程或者。借助于之前关于逆元的知识，很容易得到

由于乘法的非交换性，所以产生了两个结果。他们的模显然是相等的。

根据我的理解的话，一般就不能写，因为结果不是唯一的，不是良定义的。

代数就是向量空间加上一个乘法，当这个乘法是四元数乘法时，就是四元数代数。这个乘法比较复杂，却能反映某些自然性质。

2.四元数群，四元数代数

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