第 12 章 多路查找树

文章目录

  • 12.1 二叉树与B 树
    • 12.1.1 二叉树的问题分析
    • 12.1.2 多叉树
    • 12.1.3 B 树的基本介绍
  • 12.2 2-3 树
    • 12.2.1 2-3 树是最简单的 B 树结构, 具有如下特点:
    • 12.2.2 2-3 树应用案例
    • 12.2.3 其它说明
  • 12.3 B 树、B+树和 B*树
    • 12.3.1 B 树的介绍
    • 12.3.2 B 树的介绍
    • 12.3.3 B+树的介绍
    • 12.3.4 B*树的介绍

12.1 二叉树与B 树

12.1.1 二叉树的问题分析

二叉树的操作效率较高,但是也存在问题, 请看下面的二叉树
第 12 章 多路查找树_第1张图片

  1. 二叉树需要加载到内存的,如果二叉树的节点少,没有什么问题,但是如果二叉树的节点很多(比如 1 亿), 就存在如下问题:
  2. 问题 1:在构建二叉树时,需要多次进行 i/o 操作(海量数据存在数据库或文件中),节点海量,构建二叉树时,速度有影响
  3. 问题 2:节点海量,也会造成二叉树的高度很大,会降低操作速度.

12.1.2 多叉树

  1. 在二叉树中,每个节点有数据项,最多有两个子节点。如果允许每个节点可以有更多的数据项和更多的子节点,就是多叉树(multiway tree)
  2. 后面我们讲解的 2-3 树,2-3-4 树就是多叉树,多叉树通过重新组织节点,减少树的高度,能对二叉树进行优化。
  3. 举例说明(下面 2-3 树就是一颗多叉树)

第 12 章 多路查找树_第2张图片

12.1.3 B 树的基本介绍

B 树通过重新组织节点,降低树的高度,并且减少 i/o 读写次数来提升效率。
在这里插入图片描述

  1. 如图 B 树通过重新组织节点, 降低了树的高度.
  2. 文件系统及数据库系统的设计者利用了磁盘预读原理,将一个节点的大小设为等于一个页(页得大小通常为 4k),这样每个节点只需要一次 I/O 就可以完全载入
  3. 将树的度M 设置为 1024,在 600 亿个元素中最多只需要 4 次 I/O 操作就可以读取到想要的元素, B 树(B+)广泛应用于文件存储系统以及数据库系统中

12.2 2-3 树

12.2.1 2-3 树是最简单的 B 树结构, 具有如下特点:

  1. 2-3 树的所有叶子节点都在同一层.(只要是 B 树都满足这个条件)

  2. 有两个子节点的节点叫二节点,二节点要么没有子节点,要么有两个子节点.

  3. 有三个子节点的节点叫三节点,三节点要么没有子节点,要么有三个子节点.

  4. 2-3 树是由二节点和三节点构成的树。

12.2.2 2-3 树应用案例

将数列{16, 24, 12, 32, 14, 26, 34, 10, 8, 28, 38, 20} 构建成 2-3 树,并保证数据插入的大小顺序。(演示一下构建 2-3
树的过程.)
第 12 章 多路查找树_第3张图片

插入规则:

  1. 2-3 树的所有叶子节点都在同一层.(只要是 B 树都满足这个条件)

  2. 有两个子节点的节点叫二节点,二节点要么没有子节点,要么有两个子节点.

  3. 有三个子节点的节点叫三节点,三节点要么没有子节点,要么有三个子节点

  4. 当按照规则插入一个数到某个节点时,不能满足上面三个要求,就需要拆,先向上拆,如果上层满,则拆本层,
    拆后仍然需要满足上面 3 个条件。

  5. 对于三节点的子树的值大小仍然遵守(BST 二叉排序树)的规则

12.2.3 其它说明

除了 23 树,还有 234 树等,概念和 23 树类似,也是一种 B 树。 如图:
第 12 章 多路查找树_第4张图片

12.3 B 树、B+树和 B*树

12.3.1 B 树的介绍

B-tree 树即 B 树,B 即 Balanced,平衡的意思。有人把 B-tree 翻译成 B-树,容易让人产生误解。会以为 B-树是一种树,而 B 树又是另一种树。实际上,B-tree 就是指的 B 树。

12.3.2 B 树的介绍

前面已经介绍了 2-3 树和 2-3-4 树,他们就是 B 树(英语:B-tree 也写成 B-树),这里我们再做一个说明,我们在学习 Mysql 时,经常听到说某种类型的索引是基于 B 树或者 B+树的,如图:
第 12 章 多路查找树_第5张图片

对上图的说明:

  1. B 树的阶:节点的最多子节点个数。比如 2-3 树的阶是 3,2-3-4 树的阶是 4

  2. B-树的搜索,从根结点开始,对结点内的关键字(有序)序列进行二分查找,如果命中则结束,否则进入查询关键字所属范围的儿子结点;重复,直到所对应的儿子指针为空,或已经是叶子结点

  3. 关键字集合分布在整颗树中, 即叶子节点和非叶子节点都存放数据.

  4. 搜索有可能在非叶子结点结束

  5. 其搜索性能等价于在关键字全集内做一次二分查找

12.3.3 B+树的介绍

B+树是 B 树的变体,也是一种多路搜索树。
第 12 章 多路查找树_第6张图片

对上图的说明:

  1. B+树的搜索与 B 树也基本相同,区别是 B+树只有达到叶子结点才命中(B 树可以在非叶子结点命中),其性能也等价于在关键字全集做一次二分查找

  2. 所有关键字都出现在叶子结点的链表中(即数据只能在叶子节点【也叫稠密索引】),且链表中的关键字(数据)恰好是有序的。

  3. 不可能在非叶子结点命中

  4. 非叶子结点相当于是叶子结点的索引(稀疏索引),叶子结点相当于是存储(关键字)数据的数据层

  5. 更适合文件索引系统

  6. B 树和 B+树各有自己的应用场景,不能说 B+树完全比 B 树好,反之亦然.

12.3.4 B*树的介绍

B*树是 B+树的变体,在 B+树的非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指针。
第 12 章 多路查找树_第7张图片

 B*树的说明:

  1. B*树定义了非叶子结点关键字个数至少为(2/3)*M,即块的最低使用率为 2/3,而 B+树的块的最低使用率为的
    1/2。
  2. 从第 1 个特点我们可以看出,B*树分配新结点的概率比 B+树要低,空间使用率更高

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