【数值分析】数值微分
1. 基于Taylor公式的数值微分公式
f ′ ( x ) ≈ f ( x + h ) − f ( x ) h , 截断误差 − f ′ ′ ( ξ ) 2 h f'(x)\approx \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\,\,,\,\, 截断误差 \,\,\, - \frac{f''(\xi)}{2}h f′(x)≈hf(x+h)−f(x),截断误差−2f′′(ξ)h
f ′ ( x ) ≈ f ( x ) − f ( x − h ) h , 截断误差 − f ′ ′ ( ξ ) 2 h f'(x)\approx \frac{f(x)-f(x-h)}{h}\,\,,\,\, 截断误差 \,\,\, - \frac{f''(\xi)}{2}h f′(x)≈hf(x)−f(x−h),截断误差−2f′′(ξ)h
f ′ ( x ) ≈ f ( x + h ) − f ( x − h ) 2 h , 截断误差 f ′ ′ ′ ( ξ ) 6 h 2 f'(x)\approx \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}\,\,,\,\, 截断误差 \,\,\, \frac{f'''(\xi)}{6}h^2 f′(x)≈2hf(x+h)−f(x−h),截断误差6f′′′(ξ)h2
f ′ ′ ( x ) = f ( x + h ) − 2 f ( x ) + f ( x − h ) h 2 , 截断误差 − f ( 4 ) ( ξ ) 12 h 3 f''(x)= \frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2} \,\,,\,\, 截断误差 \,\,\, -\frac{f^{(4)}(\xi)}{12}h^3 f′′(x)=h2f(x+h)−2f(x)+f(x−h),截断误差−12f(4)(ξ)h3
2. 基于插值的数值微分公式
由于拉格朗日插值
f ( x ) = L n ( x ) + f ( n + 1 ) ( ξ ) ( n + 1 ) ! ω n + 1 ( x ) , ξ ∈ ( a , b ) f(x)=L_n(x)+ \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \omega_{n+1}(x) \,\,,\,\, \xi\in(a,b) f(x)=Ln(x)+(n+1)!f(n+1)(ξ)ωn+1(x),ξ∈(a,b)
ω n + 1 ( x ) = ∏ i = 0 n ( x − x i ) \omega_{n+1}(x)= \prod_{i=0}^{ n} (x-x_i) ωn+1(x)=i=0∏n(x−xi)
∴ f ′ ( x ) = L n ′ ( x ) + 1 ( n + 1 ) ! ( f ( n + 1 ) ( ξ ) ′ ω n + 1 ( x ) + f ( n + 1 ) ( ξ ) ω n + 1 ′ ( x ) ) \therefore f'(x)=L'_n(x)+ \frac{1}{(n+1)!} \bigg( f^{(n+1)}(\xi)' \omega_{n+1}(x)+f^{(n+1)}(\xi)\omega'_{n+1}(x) \bigg) ∴f′(x)=Ln′(x)+(n+1)!1(f(n+1)(ξ)′ωn+1(x)+f(n+1)(ξ)ωn+1′(x))
f ′ ( x k ) = L n ′ ( x k ) + f ( n + 1 ) ( ξ ) ( n + 1 ) ! ∏ i = 0 , i ≠ k n ( x k − x i ) f'(x_k)=L_n'(x_k)+ \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \prod_{i=0,i\ne k}^{ n} (x_k-x_i) f′(xk)=Ln′(xk)+(n+1)!f(n+1)(ξ)i=0,i=k∏n(xk−xi)
用插值多项式的导数来近似替代原函数的导数。
基于拉格朗日插值的求导方法并不是步长越小精度越好，缺点是只能求出节点处的导数
2.1 两点公式
L 1 ′ ( x ) = ( x − x 1 x 0 − x 1 ) ′ f 0 + ( x − x 0 x 1 − x 0 ) ′ f 1 = − 1 h f 0 + 1 h f 1 = f 1 − f 0 h \begin{align*} L_1'(x)=& (\frac{x-x_1}{x_0-x_1})'f_0+ (\frac{x-x_0}{x_1-x_0})'f_1 \\ \\ =&- \frac{1}{h}f_0+ \frac{1}{h}f_1= \frac{f_1-f_0}{h} \end{align*} L1′(x)==(x0−x1x−x1)′f0+(x1−x0x−x0)′f1−h1f0+h1f1=hf1−f0
f ′ ( x 0 ) ≈ 1 h ( f 1 − f 0 ) f'(x_0)\approx \frac{1}{h}(f_1-f_0) f′(x0)≈h1(f1−f0)
f ′ ( x 1 ) ≈ 1 h ( f 1 − f 0 ) f'(x_1)\approx \frac{1}{h}(f_1-f_0) f′(x1)≈h1(f1−f0)
截断误差 − f ′ ′ ( ξ ) 2 h 截断误差 \,\,\, - \frac{f''(\xi)}{2}h 截断误差−2f′′(ξ)h
2.2 三点公式
f ′ ( x 0 ) ≈ 1 2 h ( − 3 f 0 + 4 f 1 − f 2 ) , 截断误差 − f ′ ′ ′ ( ξ ) 3 h 2 f'(x_0)\approx \frac{1}{2h}(-3f_0+4f_1-f_2) \,\,,\,\, 截断误差- \frac{f'''(\xi)}{3}h^2 f′(x0)≈2h1(−3f0+4f1−f2),截断误差−3f′′′(ξ)h2
f ′ ( x 1 ) ≈ 1 2 h ( − f 0 + f 2 ) , 截断误差 − f ′ ′ ′ ( ξ ) 6 h 2 , 常用的中心差商公式 f'(x_1)\approx \frac{1}{2h}(-f_0+f_2) \,\,,\,\, 截断误差- \frac{f'''(\xi)}{6}h^2 \,\,,\,\, 常用的中心差商公式 f′(x1)≈2h1(−f0+f2),截断误差−6f′′′(ξ)h2,常用的中心差商公式
f ′ ( x 2 ) ≈ 1 2 h ( f 0 − 4 f 1 + 3 f 2 ) , 截断误差 − f ′ ′ ′ ( ξ ) 3 h 2 f'(x_2)\approx \frac{1}{2h}(f_0-4f_1+3f_2) \,\,,\,\, 截断误差- \frac{f'''(\xi)}{3}h^2 f′(x2)≈2h1(f0−4f1+3f2),截断误差−3f′′′(ξ)h2
2.3 五点公式
f ′ ( x 2 ) = 1 12 h ( f 0 − 8 f 1 + 8 f 3 − f 4 ) , 截断误差 − h 4 30 f ( 5 ) ( ξ ) f'(x_2)= \frac{1}{12h}(f_0-8f_1+8f_3-f_4) \,\,,\,\, 截断误差- \frac{h^4}{30}f^{(5)}(\xi) f′(x2)=12h1(f0−8f1+8f3−f4),截断误差−30h4f(5)(ξ)