雷达线性调频信号的脉冲压缩及距离分辨率

sinc函数

sinc函数是信号处理中经常遇到的函数，它的公式如下：
$$sinc(x)=\frac{sin(\pi x)}{\pi x}$$
上面是归一化的sinc函数，在数学领域中我们用到的是非归一化的，它的公式入下：
$$sinc(x)=\frac{sin(x)}{x}$$

sinc函数绘图

x = -10:0.01:10;
y = sinc(x);
y0 = zeros(1,length(y));
figure;
plot(x,y,x,y0,'linewidth',1);
title('sinc(x)');

图1 sinc函数波形

可以看到，sinc函数有一个很高的主瓣，最大值为1，还有很多小的副瓣。$x=1,-1$的时候，对应主瓣的半宽度，因为此时$sin(1\ast \pi )=0$。那么我们可以知道，对sinc函数进行压缩$A$倍后的函数$sinc(Ax)$的主瓣宽度就变成了$2/A$。

线性调频信号的脉冲压缩

对于线性调频脉冲压缩雷达，其发射信号为：
$$s(t)=rect(\frac{t}{T})exp(j\pi \mu t^2)$$
其中$t$为快时间变量，$T$为脉冲宽度，$\mu$为调频斜率，$B=T\mu$为雷达信号的带宽，搭载到载频上的发射信号为：
$$s(t)=rect(\frac{t}{T})exp(j\pi \mu t^2)exp(j2\pi f_{c}t)$$
假设单目标的情况，接收到的回波信号表达式为
$$s(t)=rect(\frac{t-t_0}{T})exp(j\pi \mu (t-t_0{)}^2)exp(j2\pi f_c(t-t_0))$$
对应的匹配滤波器的表达式为
$$h(t)=s^{\ast }(-t)=rect(\frac{t}{T})exp(-j\pi \mu t^2)$$
我们对雷达接收到的回波进行下变频到基带，在进行脉冲压缩，即与匹配滤波器进行卷积
$$s_{pc}(t)=s(t)\ast h(t)$$
这里省略计算过程，卷积后的信号为
$$s_{pc}(t)=s(t)\ast h(t)=Bsinc(B(t-t_0))$$
分析上面的式子，可以知道，脉压之后的sinc函数被压缩了$B$倍，这也被称之为增益带宽积，并且在时间轴上被延时到了$t_0$时刻。

线性调频信号的脉冲压缩仿真

下面仿真的例子：
线性调频信号的带宽为2MHz，采样频率为16MHz，我们可以计算出来，其主瓣宽度为1ms，对应的采样点就是16个。

图1 线性调频信号脉压结果

我们放大后查看主瓣内的点数，可以看到左右两边各有8个点，即对应第一零点处。

图1 线性调频信号脉压结果

这个仿真可以知道，如果两个目标的距离是不能太近的，不然，经过脉压之后会合成一个峰值。由于主瓣半宽为1/B，因此两个目标为了能完全错开，那么第二个目标的峰值至少在第一个目标回波的第一零点处，此时两者相差距离为 $c/(2B)$ ，即雷达距离分辨率。

线性调频信号的频域脉冲压缩

在时域上的卷积就是频域的相乘，所以也可以在频域进行脉冲压缩。之后再进行逆fft就可以了。除此之外，还有一种脉冲压缩的方法叫做去斜处理，是用一个参考信号在时域上和雷达回波进行相乘，相乘之后，线性调频信号就变成了一个点频信号。点频信号的频域图上的峰值的位置对应目标的距离。