代码随想录-刷题第五十五天

72. 编辑距离

题目链接：72. 编辑距离

思路：本题是用动规来解决的经典题目，这道题目看上去好像很复杂，但用动规可以很巧妙地算出最少编辑距离。动态规划五步曲分析：

1. dp[i][j]表示以下标i-1为结尾的字符串word1，和以下标j-1为结尾的字符串word2，最近编辑距离为dp[i][j]。

2. 递推公式：分情况讨论

   if (word1[i - 1] == word2[j - 1])，那么说明不用任何编辑，即dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]

   if (word1[i - 1] != word2[j - 1])，需要做增删或者替换操作：

   操作一：word1删除一个元素，那么就是以下标i - 2为结尾的word1 与 j-1为结尾的word2的最近编辑距离再加上一个操作。即dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1

   操作二：word2删除一个元素，那么就是以下标i - 1为结尾的word1 与 j-2为结尾的word2的最近编辑距离再加上一个操作。即dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1

   怎么都是删除元素，添加元素去哪了？

   word2添加一个元素，相当于word1删除一个元素，例如 word1 = "ad" ，word2 = "a"，word1删除元素'd' 和 word2添加一个元素'd'，变成word1="a", word2="ad"， 最终的操作数是一样！

   操作三：替换元素，word1替换word1[i - 1]，使其与word2[j - 1]相同，此时不用增删加元素。可以回顾一下，if (word1[i - 1] == word2[j - 1])的时候我们的操作是 dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]。那么只需要一次替换的操作，就可以让 word1[i - 1] 和 word2[j - 1] 相同。即dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1

   因为是求最小编辑距离，所以取三种操作的最小值，

   即dp[i][j] = min(dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + 1

3. 初始化：dp[i][0]代表当word2为空串式，以i-1为结尾的字符串word1要删除多少个元素，才能和word2相同呢，很明显，dp[i][0] = i，同理dp[0][j] = j。

4. 遍历顺序：

   由递推公式可以看出dp[i][j]是依赖左方、上方和左上方元素的，如图所示：

   

   所以在dp矩阵中一定是从左到右、从上到下去遍历。

5. 举例推导dp数组

   以输入：word1 = "horse", word2 = "ros"为例，推导dp数组状态图如下：

   

class Solution {
    public int minDistance(String word1, String word2) {
        char[] arr1 = word1.toCharArray();
        char[] arr2 = word2.toCharArray();
        int[][] dp = new int[arr1.length + 1][arr2.length + 1];

        // 初始化
        for (int i = 0; i <= arr1.length; i++) dp[i][0] = i;
        for (int j = 0; j <= arr2.length; j++) dp[0][j] = j;
        
        for (int i = 1; i <= arr1.length; i++) {
            for (int j = 1; j <= arr2.length; j++) {
                if (arr1[i - 1] == arr2[j - 1]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
                } else {
                    dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j - 1],
                                        Math.min(dp[i - 1][j],
                                                 dp[i][j - 1])) + 1;
                }
            }
        }
        
        return dp[arr1.length][arr2.length];
    }
}

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编辑距离总结

从判断子序列开始，都是编辑距离的问题，前三篇动态规划的文章就一直为编辑距离这道题目做铺垫。

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647. 回文子串

题目链接：647. 回文子串

思路：动态规划五步曲分析：

1. dp[i] 和 dp[i-1]，dp[i + 1] 看上去都没啥关系，所以要看回文串的性质，如图：

   

   在判断字符串s是否为回文，如果知道 s[1]，s[2]，s[3] 这个子串是回文的，那么只需要比较 s[0]和s[4]这两个元素是否相同，如果相同的话，这个字符串s就是回文串。

   此时是不是能找到一种递归关系，也就是判断一个字符串（字符串的下标范围[i, j]）是否为回文，依赖于子字符串（下表范围[i + 1, j - 1]）） 是否为回文。

   所以为了明确这种递归关系，dp数组是要定义成一个二维dp数组。

   布尔类型的dp[i][j]：表示区间范围[i, j]（注意是左闭右闭）的子串是否为回文子串，如果是，dp[i][j]为true，否则为false。

2. 递推公式：分情况讨论

   当s[i]与s[j]不相等，dp[i][j]一定是false

   当s[i]与s[j]相等时，有如下三种情况：

   情况一：下标 i 与 j 相同，同一个字符，例如a，当然是回文子串

   情况二：下标 i 与 j 相差为1，例如aa，也是回文子串

   情况三：下标 i 与 j 相差大于1的时候，例如cabac，此时s[i]与s[j]已经相同了，看 i 到 j 区间是不是回文子串就看aba是不是回文就可以了，那么aba的区间就是 i + 1 与 j - 1区间，这个区间是不是回文就看dp[i + 1][j - 1]是否为true。

3. 初始化：dp[i][j]初始化为false。

   dp[i][j]可以初始化为true么？ 当然不行，怎么能刚开始就全都匹配上了。

4. 遍历顺序：

   从递推公式中可以看出，情况三是根据dp[i + 1][j - 1]是否为true，再对dp[i][j]进行赋值true的。dp[i + 1][j - 1]在dp[i][j]的左下角，如图：

   

   如果是从上到下、从左到右遍历，那么会用到没有计算过的dp[i + 1][j - 1]，也就是根据不确定是不是回文的区间[i + 1, j - 1]，来判断了[i, j]是不是回文，那结果一定是不对的。所以一定要从下到上，从左到右遍历，这样保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的。

5. 举例推导dp数组

   以输入："aaa"为例，dp数组状态如图：

   

   图中有6个true，所以就是有6个回文子串。

   注意因为dp[i][j]的定义，所以j一定是大于等于i的，那么在填充dp[i][j]的时候一定是只填充右上半部分。

class Solution {
    public int countSubstrings(String s) {
        char[] chars = s.toCharArray();
        int len = chars.length;
        
        // dp[i][j] 表示[i,j]范围内的s是否是回文子串
        boolean[][] dp = new boolean[len][len];
        int result = 0;

        for (int i = len - 1; i >= 0; i--) {
            for (int j = i; j < len; j++) {
                // 注意这里没有列出当s[i]与s[j]不相等的时候，
                // 因为在下面dp[i][j]初始化的时候，就初始为false。
                if (chars[i] == chars[j]) {
                    if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
                        result++;
                        dp[i][j] = true;
                    } else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三
                        result++;
                        dp[i][j] = true;
                    }
                }
            }
        }
        return result;
    }
}

动态规划的空间复杂度是偏高的，再看一下双指针法。

首先确定回文串，就是找中心然后向两边扩散看是不是对称的就可以了。

在遍历中心点的时候，要注意中心点有两种情况。

一个元素可以作为中心点，两个元素也可以作为中心点。

class Solution {
    public int countSubstrings(String s) {
        int sum = 0;
        for (int i = 0; i < s.length(); i++) {
            sum += extend(s, i, i); // 以i为中心
            sum += extend(s, i, i + 1); // 以i和i + 1为中心
        }
        return sum;
    }

    int extend(String s, int left, int right) {
        int res = 0;
        // 防止索引越界
        while (left >= 0 && right < s.length()
               && s.charAt(left) == s.charAt(right)) {
            left--;
            right++;
            res++;
        }
        return res;
    }
}

类似题目：5. 最长回文子串

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516. 最长回文子序列

题目链接：516. 最长回文子序列

思路：本题回文子序列相对于回文子串来说不要求连续，动态规划五步曲分析：

1. dp[i][j]：字符串s在[i, j]范围内最长的回文子序列的长度为dp[i][j]。

2. 递推公式：分情况讨论

   在判断回文子串的题目中，关键逻辑就是看s[i]与s[j]是否相同。如图：

   如果s[i]与s[j]相同，那么dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2

   如果s[i]与s[j]不相同，说明s[i]和s[j]的同时加入并不能增加[i, j]区间回文子序列的长度，那么分别加入s[i]、s[j]看看哪一个可以组成最长的回文子序列。

   加入s[j]的回文子序列长度为dp[i + 1][j]

   加入s[i]的回文子序列长度为dp[i][j - 1]

   那么dp[i][j]一定是取最大的，即：dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1])

   

3. 初始化：可以看出递推公式计算不到 i 和 j 相同时的情况，所以需要手动初始化一下，当 i 与 j 相同，那么dp[i][j]一定是等于1的，即：一个字符的回文子序列长度就是1。其他情况dp[i][j]初始为0就行。

4. 遍历顺序：

   从递归公式中，可以看出，dp[i][i]依赖于 dp[i + 1][j - 1]，dp[i + 1][j]和dp[i][j - 1]，如图：

   

   所以遍历i的时候一定要从下到上遍历，这样才能保证下一行的数据是经过计算的。

   j的话，可以正常从左到右遍历。

5. 举例推导dp数组

   以输入s:“cbbd” 为例，dp数组状态如图：

   

   红色框即：dp[0][s.length() - 1]为最终结果。

class Solution {
    public int longestPalindromeSubseq(String s) {
        char[] arr = s.toCharArray();
        // dp[i][j] 表示字符串s在[i,j]范围内最长回文子序列的长度
        int[][] dp = new int[arr.length][arr.length];

        // 初始化
        for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
            dp[i][i] = 1;
        }

        for (int i = arr.length - 1; i >= 0; i--) {
            for (int j = i + 1; j < arr.length; j++) {
                if (arr[i] == arr[j]) {
                    dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
                } else {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
                }
            }
        }

        return dp[0][arr.length - 1];
    }
}

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动态规划总结

动态规划五步曲对解动规题目至关重要！

动规五步曲分别为：

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
2. 确定递推公式
3. dp数组如何初始化
4. 确定遍历顺序
5. 举例推导dp数组

动规题目可以分为以下几种系列

• 基础系列
• 背包系列
• 打家劫舍系列
• 股票系列
• 子序列问题系列

详细总结

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