代码随想录打卡Day 44 | 动态规划 part06

心得：

完全背包：完全背包和01背包的区别在于物品时无限的，可以重复使用。因此在代码中的体现就是内圈的for要从小到大。

因为初始化后，从大到小的for因j递减，前面的j还是初始的值，不会累加。而小到大的for因i递增，后面的j就会和前面的j累加在一起。

关于dp初始化的问题：完全背包问题的初始化，一般情况下是vectordp(target+1,0),

dp[0] = 1。因为数组是从0-target，然后哦

第一题：注意是要求组合，因为纯完全背包求得装满背包的最大价值是多少，和凑成总和的元素有没有顺序没关系，即：有顺序也行，没有顺序也行！

而本题要求凑成总和的组合数，元素之间明确要求没有顺序。

第二题：这道题就是求排列了，所以需要先遍历背包，再遍历物品。

---

---

 完全背包：完全背包和01背包的区别在于物品时无限的，可以重复使用。因此在代码中的体现就是内圈的for要从小到大。

我们知道01背包内嵌的循环是从大到小遍历，为了保证每个物品仅被添加一次。

而完全背包的物品是可以添加多次的，所以要从小到大去遍历，即：

// 先遍历物品，再遍历背包
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = weight[i]; j <= bagWeight ; j++) { // 遍历背包容量
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

    }
}

 

遍历物品在外层循环，遍历背包容量在内层循环，状态如图：

 其实两个for循环倒过来也是一样的，就是便利的顺序变了，结果不变，因为dp[j]本质上还是由其左上方的元素决定的。

先遍历背包在遍历物品，代码如下：

// 先遍历背包，再遍历物品
for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
    for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        if (j - weight[i] >= 0) dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
    }
    cout << endl;
}

遍历背包容量在外层循环，遍历物品在内层循环，状态如图：

 

完整的C++测试代码如下：

// 先遍历物品，在遍历背包
void test_CompletePack() {
    vector weight = {1, 3, 4};
    vector value = {15, 20, 30};
    int bagWeight = 4;
    vector dp(bagWeight + 1, 0);
    for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        for(int j = weight[i]; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
    cout << dp[bagWeight] << endl;
}
int main() {
    test_CompletePack();
}

---

---

第一题、零钱兑换 LeetCode518 https://leetcode.cn/problems/coin-change-ii/ 

 

给你一个整数数组 coins 表示不同面额的硬币，另给一个整数 amount 表示总金额。

请你计算并返回可以凑成总金额的硬币组合数。如果任何硬币组合都无法凑出总金额，返回 0 。

假设每一种面额的硬币有无限个。 

题目数据保证结果符合 32 位带符号整数。

示例 1：

输入：amount = 5, coins = [1, 2, 5]
输出：4
解释：有四种方式可以凑成总金额：
5=5
5=2+2+1
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1

本题就是完全背包的应用。需要注意的点是：

因为纯完全背包求得装满背包的最大价值是多少，和凑成总和的元素有没有顺序没关系，即：有顺序也行，没有顺序也行！

而本题要求凑成总和的组合数，元素之间明确要求没有顺序。

所以纯完全背包是能凑成总和就行，不用管怎么凑的。

本题是求凑出来的方案个数，且每个方案个数是为组合数。

那么本题，两个for循环的先后顺序就只能先物品后背包。

class Solution {
public:
    int change(int amount, vector& coins) {
        vector dp(amount + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for(int i = 0; i < coins.size(); i++){//遍历物品
            for(int j = coins[i]; j <= amount; j++){//遍历背包
                dp[j] += dp[j - coins[i]];
            }
        }
        return dp[amount];
    }
};

---

---

 第二题 组合总数IV LeetCode 377 https://leetcode.cn/problems/combination-sum-iv/description/

 

给你一个由 不同 整数组成的数组 nums ，和一个目标整数 target 。请你从 nums 中找出并返回总和为 target 的元素组合的个数。

题目数据保证答案符合 32 位整数范围。

示例 1：

输入：nums = [1,2,3], target = 4
输出：7
解释：
所有可能的组合为：
(1, 1, 1, 1)
(1, 1, 2)
(1, 2, 1)
(1, 3)
(2, 1, 1)
(2, 2)
(3, 1)
请注意，顺序不同的序列被视作不同的组合。

这道题就是求排列了，所以需要先遍历背包，再遍历物品。

target（背包）放在外循环，将nums（物品）放在内循环，内循环从前到后遍历。

1. 举例来推导dp数组

我们再来用示例中的例子推导一下：

class Solution {
public:
    int combinationSum4(vector& nums, int target) {
        vector dp(target + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for(int j = 0; j <= target; j++){//先遍历背包
            for(int i = 0; i < nums.size(); i++){//再遍历物品
            //C++测试用例有两个数相加超过int的数据，
            //所以需要在if里加上dp[i] < INT_MAX - dp[i - num]。
                if(j >= nums[i] && dp[j] < INT_MAX - dp[j - nums[i]]){
                    dp[j] += dp[j - nums[i]];
                } 
            }
        }
        return dp[target];
    }
};