讲解链接:
https://www.programmercarl.com/%E8%83%8C%E5%8C%85%E9%97%AE%E9%A2%98%E7%90%86%E8%AE%BA%E5%9F%BA%E7%A1%80%E5%AE%8C%E5%85%A8%E8%83%8C%E5%8C%85.html#%E5%AE%8C%E5%85%A8%E8%83%8C%E5%8C%85
有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i],得到的价值是value[i] 。每件物品都有无限个(也就是可以放入背包多次),求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
完全背包和01背包问题唯一不同的地方就是,每种物品有无限件。
依然举这个例子:
背包最大重量为4。
物品为:
重量 | 价值 | |
---|---|---|
物品0 | 1 | 15 |
物品1 | 3 | 20 |
物品2 | 4 | 30 |
每件商品都有无限个!
问背包能背的物品最大价值是多少?
01背包和完全背包唯一不同就是体现在遍历顺序上。
首先在回顾一下01背包的核心代码
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
我们知道01背包内嵌的循环是从大到小遍历,为了保证每个物品仅被添加一次。
而完全背包的物品是可以添加多次的,所以要从小到大去遍历,即:
// 先遍历物品,再遍历背包
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
for(int j = weight[i]; j <= bagWeight ; j++) { // 遍历背包容量
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
重点是遍历顺序。
在01背包中,二维数组dp是不需要在意两层for循环遍历背包容量和遍历物品价值的前后关系的。
但一维数组dp是只能固定先遍历物品价值再遍历背包容量。‘
而在完全背包中是不需要在意的。
代码如下:
// 先遍历物品,在遍历背包
void test_CompletePack() {
vector weight = {1, 3, 4};
vector value = {15, 20, 30};
int bagWeight = 4;
vector dp(bagWeight + 1, 0);
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
for(int j = weight[i]; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
cout << dp[bagWeight] << endl;
}
int main() {
test_CompletePack();
}
// 先遍历背包,再遍历物品
void test_CompletePack() {
vector weight = {1, 3, 4};
vector value = {15, 20, 30};
int bagWeight = 4;
vector dp(bagWeight + 1, 0);
for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
if (j - weight[i] >= 0) dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
cout << dp[bagWeight] << endl;
}
int main() {
test_CompletePack();
}
全文我说的都是对于纯完全背包问题,其for循环的先后循环是可以颠倒的!
但如果题目稍稍有点变化,就会体现在遍历顺序上。
如果问装满背包有几种方式的话? 那么两个for循环的先后顺序就有很大区别了,而leetcode上的题目都是这种稍有变化的类型。
题目链接:
https://leetcode.cn/problems/coin-change-ii/
题解链接:
https://www.programmercarl.com/0518.%E9%9B%B6%E9%92%B1%E5%85%91%E6%8D%A2II.html#%E6%80%9D%E8%B7%AF
定义dp数组:dp[j]是凑成金额j的组合数。
重点:
对于遍历顺序不同时,求出来的是排列还是组合的问题。
我们先来看 外层for循环遍历物品(钱币),内层for遍历背包(金钱总额)的情况。
代码如下:
for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
dp[j] += dp[j - coins[i]];
}
}
假设:coins[0] = 1,coins[1] = 5。
那么就是先把1加入计算,然后再把5加入计算,得到的方法数量只有{1, 5}这种情况。而不会出现{5, 1}的情况。
所以这种遍历顺序中dp[j]里计算的是组合数!
如果把两个for交换顺序,代码如下:
for (int j = 0; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
if (j - coins[i] >= 0) dp[j] += dp[j - coins[i]];
}
}
背包容量的每一个值,都是经过 1 和 5 的计算,包含了{1, 5} 和 {5, 1}两种情况。
此时dp[j]里算出来的就是排列数!
可能这里很多同学还不是很理解,建议动手把这两种方案的dp数组数值变化打印出来,对比看一看!(实践出真知)
也就是说,先遍历背包容量算出来的是排列数,先遍历物品的是组合数。
小细节是dp[0]要初始化为零。。
代码如下:
class Solution {
public:
int change(int amount, vector& coins) {
vector dp(amount + 1, 0);
dp[0] = 1;
for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包
dp[j] += dp[j - coins[i]];
}
}
return dp[amount];
}
};
题目链接:
https://leetcode.cn/problems/combination-sum-iv/
题解链接:
https://www.programmercarl.com/0377.%E7%BB%84%E5%90%88%E6%80%BB%E5%92%8C%E2%85%A3.html#%E6%80%9D%E8%B7%AF
class Solution {
public:
int combinationSum4(vector& nums, int target) {
vector dp(target + 1, 0);
dp[0] = 1;
for (int i = 0; i <= target; i++) { // 遍历背包
for (int j = 0; j < nums.size(); j++) { // 遍历物品
if (i - nums[j] >= 0 && dp[i] < INT_MAX - dp[i - nums[j]]) {
dp[i] += dp[i - nums[j]];
}
}
}
return dp[target];
}
};