正整数分解成几个正整数，乘积最大

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一、题干

我们就来看看力扣上边的一道题目比较类似
给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为 k[0],k[1]…k[m-1] 。请问 k[0]k[1]…*k[m-1] 可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

示例 1：

输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1

示例 2:

输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36

提示：

2 <= n <= 58

此题目跟力扣上的剪绳子一题相同
https://leetcode.cn/problems/jian-sheng-zi-lcof/solutions/

二、思路分析

我们先从数学的角度上分析，我们能联想到均值不等式，但是我们的均值不等式在分裂个数是不变的情况下适用，所以我们这个题目需要使用动态规划。用每一项得到的最大值去推导下一项的最大值。
动态规划五步法
1、设计状态
2、写出状态转移方程
3、设定初始状态
4、执行状态转移
5、返回最终的解
我们可以这样思考，我们定义一个整数n，x是n拆分出的第一个正整数，则剩下的部分是 n-x，n-x可以不继续拆分，或者继续拆分成至少两个正整数的和。
因为每个正整数对应的最大乘积取决于比它小的正整数对应的最大乘积，因此可以使用动态规划求解。
创建数组 dp，其中 dp[i]表示将正整数 i拆分成至少两个正整数的和之后，这些正整数的最大乘积。首先1是最小的正整数，1不能拆分，因此我们可以列出初始状态为，dp[0]=dp[1]=0。

我们从i>=2时开始考虑，假设对正整数i拆分出的第一个正整数是j(1<=j<=i)，则有以下两种方案：
第一种，将i拆分成j和i-j的和，且i - j不再拆分成多个正整数，此时的乘积是j * (i - j)；
第二种，将i拆分成 j 和i - j的和，且i - j继续拆分成多个正整数，此时的乘积是j * dp[i-j]；
因此，当j固定时，有dp[i]=max(j * (i - j), j * dp[i - j]);由于j的取值范围是1到i-1，
需要遍历所有的j得到 dp[i]的最大值，因此可以得到状态转移方程如下：
dp[i] = {max(j * (i - j), j * dp[i - j])};(1<=j 最终得到 dp[n]的值即为将正整数n拆分成至少两个正整数的和之后，这些正整数的最大乘积。我们就能得到最终的解

三、代码编写

#include
#include
#include
int max(int m,int n) {//求两数的最大值
	return m > n? m:n;
}
int cuttingRope(int n) {
    int* dp = (int*)malloc((n + 1)*sizeof(int));//设置dp数组
    dp[0] = 0;
    dp[1] = 0;//设置初始值
    int maxNum;
    int i = 2;
    for(i = 2; i <= n; i++) {
        int curMax = 0;//用这个变量去获取每个数分裂后得到的最大乘积
        int j = 1;
        for (j = 1; j < i; j++) {
            curMax = max(curMax, max(j * (i - j), j * dp[i - j]));//状态转移方程
        }
        dp[i] = curMax;
    }
    maxNum = dp[n];//最后的dp[n]就是最大值
    free(dp);//动态数组，最后要用free函数进行释放
    dp = NULL;
    return maxNum;
}

int main() {
	int n;
	int sum;
	while(scanf("%d", &n) != EOF) {
		sum = cuttingRope(n);
		printf("%d\n", sum);
	}
	return 0;
} 

最后我们在力扣上也可以执行我们的代码，也是可以顺利通过的