【二叉树】

文章目录

  • 树形结构
    • 注意要点
    • 细分概念
    • 树在生活中的应用
  • 二叉树
    • 什么是二叉树
    • 二叉树特点:
    • 两种特殊的二叉树
    • 二叉树的性质
    • 二叉树性质的练习
    • 二叉树的存储
    • 二叉树的遍历
      • 前序遍历
      • 中序遍历
      • 后序遍历
      • 遍历练习


树形结构

树是一种非线性的数据结构,它具有以下的特点:

  • 有一个特殊的结点,称为根结点,根结点没有前驱结点
  • 除根结点外,其余结点被分成M(M >0)个互不相交的集合T1、T2、…、Tm,其中每一个集合Ti (1 <= i <=m)又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱,可以有0个或多个后继
  • 树是递归定义的。
    【二叉树】_第1张图片

注意要点

如果子数之间有交集就不是树形结构

下面这三种都不是树形结构
【二叉树】_第2张图片

  • 子树是不相交
  • 除了根结点以外,每个结点有且仅有一个父节点
  • 一棵N个结点的树,有N-1个结点

细分概念

【二叉树】_第3张图片

  • 结点的度:一个结点含有子树的个数称为该结点的度; 如上图:A的度为6
  • 树的度:一棵树中,所有结点度的最大值称为树的度; 如上图:树的度为6
  • 叶子结点或终端结点:度为0的结点称为叶结点; 如上图:B、C、H、I…等节点为叶结点
  • 双亲结点或父结点:若一个结点含有子结点,则这个结点称为其子结点的父结点; 如上图:A是B的父结点
  • 孩子结点或子结点:一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点; 如上图:B是A的孩子结点
  • 根结点:一棵树中,没有双亲结点的结点;如上图:A 结点的层次:从根开始定义起,根为第1层,根的子结点为第2层,以此类推
  • 树的高度或深度:树中结点的最大层次; 如上图:树的高度为4

树在生活中的应用

电脑文件夹(目录和文件),是一层一层打开的,C盘就是根节点,打开有很多结点。

二叉树

什么是二叉树

二叉树是有限集合

  • 要么为空
  • 要么是由一个根结点,加上两棵叫做左子树和右子树的二叉树组成

【二叉树】_第4张图片

二叉树特点:

  1. 二叉树的不存在度大于2的结点
  2. 二叉树的子树有左右之分,次序不能颠倒,因此二叉树是有序树

二叉树只有以下这种形式:
【二叉树】_第5张图片

两种特殊的二叉树

  1. 满二叉树: 一棵二叉树,如果每层的结点数都达到最大值,则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说,如果一棵二叉树的层数为K,且结点总数是,则它就是满二叉树。 注意它是一种特殊的完全二叉树。
  2. 完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构,完全二叉树是由满二叉树而引出来的。如果从上到下,从左到右,结点都是依次存放的,那么就是完全二叉树。
    【二叉树】_第6张图片
    下面这个就不是二叉树了
    【二叉树】_第7张图片

二叉树的性质

1.若规定根结点的层数为1,则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1) (i>0)个结点
【二叉树】_第8张图片
2.若规定只有根结点的二叉树的深度为1,则深度为K的二叉树的最大结点数是2^(k-1) (k>=0)
跟第一条差不多一样,求最深结点的个数。
3. 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0=n2+1
结论:叶子结点个数比度为2的非叶结点个数多一个。
【二叉树】_第9张图片
在这里插入图片描述
5.对于具有n个结点的完全二叉树,如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号,则对于序号为i的结点有:
若i > 0,双亲序号:(i-1)/2;i=0,i为根结点编号,无双亲结点
若2i+1 < n,左孩子序号:2i+1,否则无左孩子
若2i+2 < n,右孩子序号:2i+2,否则无右孩子

假设:1.已知父亲结点i是3,那么它的左孩子结点是2i+1,右孩子结点是2i+2
2.已知孩子结点是8,那么父亲结点是(i-1)/2

【二叉树】_第10张图片

二叉树性质的练习

  1. 某二叉树共有 399 个结点,其中有 199 个度为 2 的结点,则该二叉树中的叶子结点数为( )
    A 不存在这样的二叉树
    B 200
    C 198
    D 199
    答案:B
    叶子结点个数 = 度为2的结点个数+1

2.在具有 2n 个结点的完全二叉树中,叶子结点个数为( )
A n
B n+1
C n-1
D n/2
【二叉树】_第11张图片

3.一个具有767个节点的完全二叉树,其叶子节点个数为()
A 383
B 384
C 385
D 386
【二叉树】_第12张图片
4.一棵完全二叉树的节点数为531个,那么这棵树的高度为( )
A 11
B 10
C 8
D 12
依据第四条规则得出

二叉树的存储

二叉树的存储结构分为:顺序存储和类似于链表的链式存储

二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的,常见的表示方式有:

// 孩子表示法
class Node {
int val; // 数据域
Node left; // 左孩子的引用,常常代表左孩子为根的整棵左子树
Node right; // 右孩子的引用,常常代表右孩子为根的整棵右子树
}

【二叉树】_第13张图片

二叉树的遍历

前序遍历

访问根结点—>根的左子树—>根的右子树

从根节点A遍历并打印,继续遍历左子树B并打印,此时,左子树成为一个根节点,继续遍历它的左子树D并打印,而这棵左子树D又是根结点,又向它的左子树遍历,发现为空,往右子树遍历,为空,则D树遍历完(也就是B的左子树遍历完),然后遍历B的右子树,为空,则B树遍历完,(也就是A的左子树遍历完),继续遍历A的右子树
【二叉树】_第14张图片
A B D C E F

中序遍历

左子树–根–右子树

【二叉树】_第15张图片
D B A E C F

从A进入,(还不能打印A,因为要先遍历完左子树才到根)往左子树B遍历,左子树B变成了根节点,继续遍历B的左子树D,D变成了根节点,遍历D的左子树发现为空,(这说明左子树遍历完了)返回遇到根节点D,打印根节点D,(遍历完根,到右子树了)D的右子树为空,那么D这个树遍历完了,返回去遇到根节点B并打印,继续遍历右节点发现为空,又返回去遇到根节点A,打印A。(过程的大概就是如此)

后序遍历

左子树–右子树–根

【二叉树】_第16张图片
D B E F C A
从A开始往左子树遍历B,又从B往左子树遍历D,又从D往左子树遍历发现为空,又遍历右子树发现为空,返回到根D,打印D,B的左子树遍历完了,遍历B的右子树,发现为空,返回根B,打印B,A的左子树遍历完了,往右子树C遍历,又往C的左字数遍历E,又往E的左子树遍历,为空,往E的右子树遍历,为空,返回根F,打印F,C的右子树遍历完了,打印根C,返回到A,A的左右子树都遍历完了,终于打印最后的根A。

遍历练习

【二叉树】_第17张图片
2.某完全二叉树按层次输出(同一层从左到右)的序列为 ABCDEFGH 。该完全二叉树的前序序列为()
A: ABDHECFG B: ABCDEFGH C: HDBEAFCG D: HDEBFGCA
【二叉树】_第18张图片
3.二叉树的先序遍历和中序遍历如下:先序遍历:EFHIGJK;中序遍历:HFIEJKG.则二叉树根结点为()
A: E B: F C: G D: H
【二叉树】_第19张图片
4.3.设一课二叉树的中序遍历序列:badce,后序遍历序列:bdeca,则二叉树前序遍历序列为()
A: adbce B: decab C: debac D: abcde

【二叉树】_第20张图片4.某二叉树的后序遍历序列与中序遍历序列相同,均为 ABCDEF ,则按层次输出(同一层从左到右)的序列为()
A: FEDCBA B: CBAFED C: DEFCBA D: ABCDEF

解析:从后序遍历得出根节点是F,所以按层次输出第一个一定是F,因此答案选A。

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