【二叉树】

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树形结构

树是一种非线性的数据结构，它具有以下的特点：

• 有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点
• 除根结点外，其余结点被分成M(M >0)个互不相交的集合T1、T2、…、Tm，其中每一个集合Ti (1 <= i <=m)又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
• 树是递归定义的。
  

注意要点

如果子数之间有交集就不是树形结构

下面这三种都不是树形结构

• 子树是不相交的
• 除了根结点以外，每个结点有且仅有一个父节点
• 一棵N个结点的树，有N-1个结点

细分概念

• 结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度； 如上图：A的度为6
• 树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度； 如上图：树的度为6
• 叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶结点
• 双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 如上图：A是B的父结点
• 孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点； 如上图：B是A的孩子结点
• 根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A 结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推
• 树的高度或深度：树中结点的最大层次； 如上图：树的高度为4

树在生活中的应用

电脑文件夹（目录和文件），是一层一层打开的，C盘就是根节点，打开有很多结点。

二叉树

什么是二叉树

二叉树是有限集合

• 要么为空
• 要么是由一个根结点，加上两棵叫做左子树和右子树的二叉树组成

二叉树特点：

1. 二叉树的不存在度大于2的结点
2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

二叉树只有以下这种形式：

两种特殊的二叉树

1. 满二叉树: 一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵二叉树的层数为K，且结点总数是，则它就是满二叉树。 注意它是一种特殊的完全二叉树。
2. 完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。如果从上到下，从左到右，结点都是依次存放的，那么就是完全二叉树。
   
   下面这个就不是二叉树了
   

二叉树的性质

1.若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1) (i>0)个结点

2.若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是2^(k-1) (k>=0)
跟第一条差不多一样，求最深结点的个数。
3. 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1
结论：叶子结点个数比度为2的非叶结点个数多一个。


5.对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
若i > 0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
若2i+1 < n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
若2i+2 < n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子

假设：1.已知父亲结点i是3，那么它的左孩子结点是2i+1，右孩子结点是2i+2
2.已知孩子结点是8，那么父亲结点是（i-1）/2

二叉树性质的练习

1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ ）
   A 不存在这样的二叉树
   B 200
   C 198
   D 199
   答案：B
   叶子结点个数 = 度为2的结点个数+1

2.在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ ）
A n
B n+1
C n-1
D n/2

3.一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（）
A 383
B 384
C 385
D 386

4.一棵完全二叉树的节点数为531个，那么这棵树的高度为（ ）
A 11
B 10
C 8
D 12
依据第四条规则得出

二叉树的存储

二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储

二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有:

// 孩子表示法
class Node {
int val; // 数据域
Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
}

二叉树的遍历

前序遍历

访问根结点—>根的左子树—>根的右子树

从根节点A遍历并打印，继续遍历左子树B并打印，此时，左子树成为一个根节点，继续遍历它的左子树D并打印，而这棵左子树D又是根结点，又向它的左子树遍历，发现为空，往右子树遍历，为空，则D树遍历完（也就是B的左子树遍历完），然后遍历B的右子树，为空，则B树遍历完，（也就是A的左子树遍历完），继续遍历A的右子树

A B D C E F

中序遍历

左子树–根–右子树

D B A E C F

从A进入，（还不能打印A，因为要先遍历完左子树才到根）往左子树B遍历，左子树B变成了根节点，继续遍历B的左子树D，D变成了根节点，遍历D的左子树发现为空，（这说明左子树遍历完了）返回遇到根节点D，打印根节点D，（遍历完根，到右子树了）D的右子树为空，那么D这个树遍历完了，返回去遇到根节点B并打印，继续遍历右节点发现为空，又返回去遇到根节点A，打印A。（过程的大概就是如此）

后序遍历

左子树–右子树–根

D B E F C A
从A开始往左子树遍历B，又从B往左子树遍历D，又从D往左子树遍历发现为空，又遍历右子树发现为空，返回到根D，打印D，B的左子树遍历完了，遍历B的右子树，发现为空，返回根B，打印B，A的左子树遍历完了，往右子树C遍历，又往C的左字数遍历E，又往E的左子树遍历，为空，往E的右子树遍历，为空，返回根F，打印F，C的右子树遍历完了，打印根C，返回到A，A的左右子树都遍历完了，终于打印最后的根A。

遍历练习

2.某完全二叉树按层次输出（同一层从左到右）的序列为 ABCDEFGH 。该完全二叉树的前序序列为()
A: ABDHECFG B: ABCDEFGH C: HDBEAFCG D: HDEBFGCA

3.二叉树的先序遍历和中序遍历如下：先序遍历：EFHIGJK;中序遍历：HFIEJKG.则二叉树根结点为()
A: E B: F C: G D: H

4.3.设一课二叉树的中序遍历序列：badce，后序遍历序列：bdeca，则二叉树前序遍历序列为()
A: adbce B: decab C: debac D: abcde

4.某二叉树的后序遍历序列与中序遍历序列相同，均为 ABCDEF ，则按层次输出(同一层从左到右)的序列为()
A: FEDCBA B: CBAFED C: DEFCBA D: ABCDEF

解析：从后序遍历得出根节点是F，所以按层次输出第一个一定是F，因此答案选A。