POJ 1061 青蛙的约会 (扩展欧几里德解不定方程)
题目链接：
http://poj.org/problem?id=1061
题目大意：两只青蛙在一个首尾相接的轴上(1 - L)跳，并且其中一个起点在x，每步跳m，另一个起点在y，每步跳n，问他们经过某步后可不可以相遇，如果可以，找出步数.
思路： 经典的
扩展欧几里德解线性不定方程的题： 显而易见的我们有方程 x + m*p = y + n*p (mod L),但是这个形式不太好解，未知数在两边，那么我们换个形式： (x + m*p) - (y + n*p) = t*L -> (n - m) * p + t * L = (x - y) 于是回到了我们熟悉的形式：解不定方程 ax + by = c. 我们用
扩展欧几里德来解决这个问题： 1.
扩展欧几里德算法解整数不定方程 ax + by = gcd(a, b) （由定理可知其一定有解，证明略了.） （注：ext_gcd求出
方程一个通解x0, y0， 其所有的整数解形式为：(x0 + kb/g, y0 - ka/g) (g = gcd(a,b) ) ） 首先：根据定理 gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)我们可以得到等式ax
1 + by
1 = bx
2 + (a mod b)y
2 整理一下：ax
1 + by
1 = bx
2 + (a - a/b*b)y
2 -> ax
1 + by
1 = ay
2 + b(x
2 - a/b * y
2) 由恒等定理得： x
1 = y
2 y
1 = x
2 - a/b*y
2 然后我们在欧几里德辗转相除法的基础上递归地利用gcd(b, a mod b)的解来得到gcd(a, b)的解：
void ext_gcd(long long a, long long b, long long &x, long long &y){
if (b == 0){
x = 1;
y = 0 ;
return ;
}
ext_gcd(b, a%b, x, y);
long long tmp = x;
x = y;
y = tmp - a/b * y;
return ;
}
2.
解整数不定方程ax + by = c ★ ①首先由定理"所有的ax + by都一定是gcd(a,b)的倍数"可知
方程有解的充要条件是gcd(a,b)必须能整除c. ②然后我们令等式两边同时除以gcd(a,b)得到等价方程 -> a'x + b'y = c' 易知gcd(a', b') = 1.利用扩展欧几里德求出方程解(x
0, y
0)，则方程a'x + b'y = 1的通解为(x
0 + kb, y
0 - ka)，且(c' * x
0, c' * y
0)即为方程a'x + b'y = c'的解. ③注：题目要求满足方程的x为解中最小的整数，求最小整数过程中便很容易出现一个问题：如果x
#是方程a'x + b'y = 1的最小整数x解，我们不能说c' * x
#是方程a'x + b'y = c'的最小整数x解！比如方程413x + 1908y = 365的最小整数x解为(121, -26)，看出问题了吧！方程a'x + b'y = c'的所有整数解并不是( c' * (x
0 + kb'), c' * (y
0 - ka') )！事实上我们应该这么做（虽然我也不会证为什么……）：我们求出了a'x + b'y = 1的解(x
0, y
0)后，先求出a'x + b'y = c'的解(c' * x
0, c' * y
0)，则方程a'x + b'y = c'的所有整数解为(c' * x
0 + kb', c' * y
0 - ka'). 代码:
#include
#include
using namespace std; long long gcd(long long a, long long b){ return b ? gcd(b, a%b) : a; } void ext_gcd(long long a, long long b, long long &x, long long &y){ if (b == 0){ x = 1; y = 0 ; return ; } ext_gcd(b, a%b, x, y); long long tmp = x; x = y; y = tmp - a/b * y; return ; } int main(){ long long x, y, m, n, L; scanf("%I64d%I64d%I64d%I64d%I64d", &x, &y, &m, &n, &L); long long a = n - m; long long b = L; long long g = x - y; if (g % gcd(a,b)){ printf("Impossible\n"); return 0; } long long p = gcd(a, b); a /= p; b /= p; g /= p; long long ansx, ansy; ext_gcd(a, b, ansx, ansy); ansx *= g; long long tmp = (long long)abs(double(b)); ansx = (ansx % tmp + tmp) % tmp; printf("%I64d\n", ansx); return 0; }