代码随想录算法训练营Day14|二叉树（理论基础、递归遍历、迭代遍历、统一迭代）

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一、理论基础

1. 二叉树的种类

二叉树主要有两种形式：满二叉树和完全二叉树。
（1）满二叉树

定义：如果一棵二叉树只有度为0的结点和度为2的结点，并且度为0的结点在同一层上，则这颗二叉树称为满二叉树。

满二叉树示例如下图所示：也可以说深度为$k$，有$2^k-1$个节点的二叉树。

（2）完全二叉树

定义：在完全二叉树中，除了最底层节点可能没填满外，其余每层节点数都达到最大值，并且最下面一层的节点都集中在该层 最左边 的若干位置。若最底层为第 $h$ 层（$h$从$1$开始），则该层包含 $1-2^{(h-1)}$ 个节点。
堆就是一棵完全二叉树，同时保证父子节点的顺序关系。

2. 二叉搜索树

二叉搜索树是有数值的，二叉搜索树是一个有序树。

• 若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
• 若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
• 它的左、右子树也分别为二叉排序树。

3. 平衡二叉搜索树

定义：又被称为AVL（Adelson-Velsky and Landis）树，且具有以下性质：

• 它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1；
• 并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。

4. 存储方式

二叉树可以链式存储，也可以顺序存储。
链式存储方式就用指针， 顺序存储的方式就是用数组。
顺序存储的元素在内存是连续分布的，而链式存储则是通过指针把分布在各个地址的节点串联一起。
链式表示的二叉树，更有利于我们理解，所以一般我们都是用链式存储二叉树。

链式存储：

顺序存储：如果父节点的数组下标是 $i$，那么它的左孩子就是 $i\ast 2+1$，右孩子就是 $i\ast 2+2$。

5. 二叉树的遍历方式

二叉树主要有两种遍历方式：

• 深度优先遍历：先往深走，遇到叶子节点再往回走。
• 广度优先遍历：一层一层的去遍历。

这两种遍历是图论中最基本的两种遍历方式。
从深度优先遍历和广度优先遍历进一步拓展，才有如下遍历方式：
深度优先遍历

• 前序遍历（递归法，迭代法）
• 中序遍历（递归法，迭代法）
• 后序遍历（递归法，迭代法）

广度优先遍历

• 层次遍历（迭代法）

在深度优先遍历中：有三个顺序，前中后序遍历。这里前中后，其实指的就是中间节点的遍历顺序。
看如下中间节点的顺序，就可以发现，中间节点的顺序就是所谓的遍历方式：

• 前序遍历：中左右
• 中序遍历：左中右
• 后序遍历：左右中

前中后序遍历的逻辑可以借助栈使用递归的方式来实现。
广度优先遍历的实现一般使用队列来实现，这也是队列先进先出的特点所决定的，因为需要先进先出的结构，才能一层一层的来遍历二叉树。

二、递归遍历

1. 递归遍历三要素

确定递归函数的参数和返回值： 确定哪些参数是递归的过程中需要处理的，那么就在递归函数里加上这个参数， 并且还要明确每次递归的返回值是什么进而确定递归函数的返回类型。
确定终止条件： 写完了递归算法, 运行的时候，经常会遇到栈溢出的错误，就是没写终止条件或者终止条件写的不对，操作系统也是用一个栈的结构来保存每一层递归的信息，如果递归没有终止，操作系统的内存栈必然就会溢出。
确定单层递归的逻辑： 确定每一层递归需要处理的信息。在这里也就会重复调用自己来实现递归的过程。

2. 144.前序遍历

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * public class TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode left;
 *     TreeNode right;
 *     TreeNode() {}
 *     TreeNode(int val) { this.val = val; }
 *     TreeNode(int val, TreeNode left, TreeNode right) {
 *         this.val = val;
 *         this.left = left;
 *         this.right = right;
 *     }
 * }
 */
class Solution {
    public List<Integer> preorderTraversal(TreeNode root) {
        ArrayList<Integer> result = new ArrayList<Integer>();
        preOrder(root, result);
        return result;
    }

    void preOrder(TreeNode root, ArrayList<Integer> result) {
        if (root == null) {
            return;
        }
        result.add(root.val);
        preOrder(root.left, result);
        preOrder(root.right, result);
    }
}

3. 145.后序遍历

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * public class TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode left;
 *     TreeNode right;
 *     TreeNode() {}
 *     TreeNode(int val) { this.val = val; }
 *     TreeNode(int val, TreeNode left, TreeNode right) {
 *         this.val = val;
 *         this.left = left;
 *         this.right = right;
 *     }
 * }
 */
class Solution {
    public List<Integer> postorderTraversal(TreeNode root) {
        List<Integer> res = new ArrayList<>();
        postorder(root, res);
        return res;
    }

    void postorder(TreeNode root, List<Integer> list) {
        if (root == null) {
            return;
        }
        postorder(root.left, list);
        postorder(root.right, list);
        list.add(root.val);
    }
}

4. 94.中序遍历

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * public class TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode left;
 *     TreeNode right;
 *     TreeNode() {}
 *     TreeNode(int val) { this.val = val; }
 *     TreeNode(int val, TreeNode left, TreeNode right) {
 *         this.val = val;
 *         this.left = left;
 *         this.right = right;
 *     }
 * }
 */
class Solution {
    public List<Integer> inorderTraversal(TreeNode root) {
        List<Integer> res = new ArrayList<>();
        inorder(root, res);
        return res;
    }

    void inorder(TreeNode root, List<Integer> list) {
        if (root == null) {
            return;
        }
        inorder(root.left, list);
        list.add(root.val);             
        inorder(root.right, list);
    }
}

三、迭代遍历

1. 144.前序遍历

前序遍历顺序：中-左-右
入栈顺序：中-右-左

class Solution {
    public List<Integer> preorderTraversal(TreeNode root) {
        List<Integer> result = new ArrayList<>();
        if (root == null){
            return result;
        }
        Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();
        stack.push(root);
        while (!stack.isEmpty()){
            TreeNode node = stack.pop();
            result.add(node.val);
            if (node.right != null){
                stack.push(node.right);
            }
            if (node.left != null){
                stack.push(node.left);
            }
        }
        return result;
    }
}

2. 145.后序遍历

后序遍历顺序 左-右-中
入栈顺序：中-左-右 ，出栈顺序：中-右-左
最后翻转结果

class Solution {
    public List<Integer> postorderTraversal(TreeNode root) {
        List<Integer> result = new ArrayList<>();
        if (root == null){
            return result;
        }
        Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();
        stack.push(root);
        while (!stack.isEmpty()){
            TreeNode node = stack.pop();
            result.add(node.val);
            if (node.left != null){
                stack.push(node.left);
            }
            if (node.right != null){
                stack.push(node.right);
            }
        }
        Collections.reverse(result);
        return result;
    }
}

3. 94.中序遍历

中序遍历顺序: 左-中-右
入栈顺序： 左-右

class Solution {
    public List<Integer> inorderTraversal(TreeNode root) {
        List<Integer> result = new ArrayList<>();
        if (root == null){
            return result;
        }
        Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();
        TreeNode cur = root;
        while (cur != null || !stack.isEmpty()){
           if (cur != null){
               stack.push(cur);
               cur = cur.left;
           }else{
               cur = stack.pop();
               result.add(cur.val);
               cur = cur.right;
           }
        }
        return result;
    }
}

四、统一迭代

1. 144.前序遍历

class Solution {
    public List<Integer> preorderTraversal(TreeNode root) {
        List<Integer> result = new LinkedList<>();
        Stack<TreeNode> st = new Stack<>();
        if (root != null) st.push(root);
        while (!st.empty()) {
            TreeNode node = st.peek();
            if (node != null) {
                st.pop(); // 将该节点弹出，避免重复操作，下面再将右中左节点添加到栈中
                if (node.right!=null) st.push(node.right);  // 添加右节点（空节点不入栈）
                if (node.left!=null) st.push(node.left);    // 添加左节点（空节点不入栈）
                st.push(node);                          // 添加中节点
                st.push(null); // 中节点访问过，但是还没有处理，加入空节点做为标记。
                
            } else { // 只有遇到空节点的时候，才将下一个节点放进结果集
                st.pop();           // 将空节点弹出
                node = st.peek();    // 重新取出栈中元素
                st.pop();
                result.add(node.val); // 加入到结果集
            }
        }
        return result;
    }
}

2. 145.后序遍历

class Solution {
    public List<Integer> preorderTraversal(TreeNode root) {
        List<Integer> result = new LinkedList<>();
        Stack<TreeNode> st = new Stack<>();
        if (root != null) st.push(root);
        while (!st.empty()) {
            TreeNode node = st.peek();
            if (node != null) {
                st.pop(); // 将该节点弹出，避免重复操作，下面再将右中左节点添加到栈中
                if (node.right!=null) st.push(node.right);  // 添加右节点（空节点不入栈）
                if (node.left!=null) st.push(node.left);    // 添加左节点（空节点不入栈）
                st.push(node);                          // 添加中节点
                st.push(null); // 中节点访问过，但是还没有处理，加入空节点做为标记。
                
            } else { // 只有遇到空节点的时候，才将下一个节点放进结果集
                st.pop();           // 将空节点弹出
                node = st.peek();    // 重新取出栈中元素
                st.pop();
                result.add(node.val); // 加入到结果集
            }
        }
        return result;
    }
}

3. 94.中序遍历

class Solution {
public List<Integer> inorderTraversal(TreeNode root) {
        List<Integer> result = new LinkedList<>();
    Stack<TreeNode> st = new Stack<>();
    if (root != null) st.push(root);
    while (!st.empty()) {
        TreeNode node = st.peek();
        if (node != null) {
            st.pop(); // 将该节点弹出，避免重复操作，下面再将右中左节点添加到栈中
            if (node.right!=null) st.push(node.right);  // 添加右节点（空节点不入栈）
            st.push(node);                          // 添加中节点
            st.push(null); // 中节点访问过，但是还没有处理，加入空节点做为标记。

            if (node.left!=null) st.push(node.left);    // 添加左节点（空节点不入栈）
        } else { // 只有遇到空节点的时候，才将下一个节点放进结果集
            st.pop();           // 将空节点弹出
            node = st.peek();    // 重新取出栈中元素
            st.pop();
            result.add(node.val); // 加入到结果集
        }
    }
    return result;
}
}