近世代数理论基础25：唯一分解整环

唯一分解整环

唯一分解整环

定义：若整环D满足：

1.D中任一不是0也不是单位的元都可分解成有限个不可约元的乘积

2.若D中元a分解成两种不可约元的乘积和,则,且适当调整次序后有

则称D为一个唯一分解整环(UFD)

例：整数环、F[x]都是唯一分解整环

域也是唯一分解整环,域中除了零元,其他元都是单位

判断

引理：若整环D中任意两个元均有最大公因子存在,则D中每个不可约元都是素元

证明：

定理：整环D是UDF的充分必要条件：

1.D中任意序列,其中每一个都是的真因子,,只能含有有限项

2.D中每一个不可约元都是素元

证明：

注：可利用D中任二元的最大公因子的存在性判断D是否为唯一分解整环

定理：整环D是唯一分解整环的充要条件：

1.D中任意真因子序列(其中为的真因子,)只能由有限项

2.D中任意两个元都有最大公因子

例：环不满足每一个不可约元都是素元,D不是唯一分解整环

例如,,即9的两种不同的不可约元的因子分解

主理想整环

定义：设D是一个整环,若D的每一个理想都是主理想,则称D为主理想整环(PID)

例：整数环Z和都是PID

设I为Z的任一理想,则I中必有一个最小的非负整数a,易证,故Z是PID

的零理想是一个主理想,而非零理想总是由其中次数最小的多项式来生成,故是PID

性质：

1.设,则

2.设,则

引理：设D是PID,是不可约元,则p必是素元

证明：

定理：主理想整环一定是唯一分解整环

证明：

欧式环

定义：设D为整环,若存在一个从D的非零元组成的集合到非负整数集合的映射,使得,,使,其中,或,则称D是一个欧式环

例：整数环Z和都是欧式环

Z和中都有带余除法

对于Z,映射可取作

对于,可取作

注：欧氏环即能进行某种意义下的带余除法的环,可看作是Z和的推广

定理：欧式环是主理想整环,是唯一分解整环

证明：

注：不是所有的主理想环都是欧式环