三棱柱：2020年全国卷B题20

三棱柱：2020年全国卷B题20

分值：12 分

如图，已知三棱柱 的底面是正三角形，侧面 是矩形， 分别为 的中点， 为 上一点，过 和 的平面交 于 ，交 于 .

（1）证明∶ , 且平面 平面 ;

（2）设 为 的中心. 若 // 平面 ,且 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.

2020年全国卷B

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【解答问题1】

∵ 是矩形， 分别为 的中点，

∴ 是矩形，,

∵ ,

.

∵ 是矩形，

∴ ,

∵ 是正三角形, 是 的中点，

∴ ,

∵ ,

∴ 平面

又∵ 平面 ,

∴ 平面 平面 .

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【解答问题2】

以点 为原点建立直角坐标系，并以 为 轴，以向上为 轴正方向.

令 , 则可得以下点的坐标：

∵ 平面 ,

∴ 平面 ,

∴

设 两平面的距离为 ,

则点 的坐标可设为 ,

相应地，平面 上几个点的坐标如下：

∵ // 平面 , 平面 平面 ,

∴

∵ 平面 平面

平面 平面

平面 平面

∴

∵ , ,

∴ 是平行四边形, , 由此确定以下坐标：

∵

∴

∵ 平面 ,

∴ 平面 的法向量为

∴ 直线 与平面 所成角的正弦值为 .

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【提炼与提高】

在问题1的解答过程中，平面几何的几个常用命题起到了重要作用，我们小结一下：

「矩形是一类特殊的平行四边形，它具有以下性质：」

「矩形的对边平行且相等；」

「矩形的四个内角都等于 ；」

等腰三角形具有三线合一的性质，具体说来就是：

「等腰三角形底边上的中线与底边垂直。」

在问题1中还用到了立体几何的以下知识：

「平行的传递性」：如何两条直线都与同一条直线平行，则这两条直线相互平行；

「垂直的转换」：由线线垂直推出线面垂直，由线面垂直推出面面垂直。

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问题2显然是一个适合用向量方法来解决的问题。

在此过程中需要用到以下几何知识：

由线面平行推出线线平行： // 平面

正三角形的性质：正三角形的外心、内心、垂心和重心合一，称为正三角形的中心；所以 .

在问题2的解答过程中需要避开一个易错点：虽然侧面 是矩形，但 不一定是矩形， 与平面 也不一定是垂直的。有部分学生可能会自己添加条件，从而造成丢分.

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