线代作业啊啊

1. 线性方程组
   给定以下线性方程组:
   $$\begin{array}{rl}& 2x+y=5\\ & x-3y=-4\end{array}$$
   求 $x$ 和 $y$ 的值。

2. 线性方程组的矩阵求解法
   考虑线性方程组:
   $$\begin{array}{r}x+2y=3\\ 3x+4y=7\end{array}$$
   使用矩阵的方法求解 $x$ 和 $y$ 的值。

3. 矩阵乘法
   若
   $$A=\left[\begin{array}{ll}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]$$
   和
   $$B=\left[\begin{array}{ll}2& 0\\ 1& 3\end{array}\right]$$
   求 $A\times B$ 。

4. 向量的数乘
   若 $v=\left[\begin{array}{l}1\\ 3\end{array}\right]$, 求 $5\times v$ 。

5. 向量的加法
   若 $a=\left[\begin{array}{l}2\\ 1\end{array}\right]$ 和 $b=\left[\begin{array}{c}3\\ -2\end{array}\right]$ ，求 $a+b$ 。

6. 向量的线性组合 (编程题)
   给定向量 v ⃗ 1 = [ 2 1 4 ] \vec{v}_1=\left[\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 4\end{array}\right] v 1​= ​214​ ​ 和 v ⃗ 2 = [ 1 3 − 1 ] \vec{v}_2=\left[\begin{array}{c}1 \\ 3 \\ -1\end{array}\right] v 2​= ​13−1​ ​ ，生成这两个向量的线性组合（常量自定义即可）。同时，编写一个程序来计算

7. 向量空间 (张成空间)
   是否可能通过 $a=\left[\begin{array}{l}1\\ 2\end{array}\right]$ 和 $b=\left[\begin{array}{l}2\\ 4\end{array}\right]$ 构造张成空间 ${\mathbb{R}}^2$ ?

8. 向量的线性相关和线性无关
   判断向量 v ⃗ 1 = [ 1 2 3 ] \vec{v}_1=\left[\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right] v 1​= ​123​ ​ 和 v ⃗ 2 = [ 2 4 6 ] \vec{v}_2=\left[\begin{array}{l}2 \\ 4 \\ 6\end{array}\right] v 2​= ​246​ ​ 是否线性相关。

9. 向量乘法
   求 $u=\left[\begin{array}{l}1\\ 2\end{array}\right]$ 和 $v=\left[\begin{array}{l}3\\ 4\end{array}\right]$ 的点积。

10. 向量的正交 (编程题)
    给定向量 a ⃗ = [ 1 0 − 1 ] \vec{a}=\left[\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ -1\end{array}\right] a = ​10−1​ ​ 和 b ⃗ = [ 2 − 2 2 ] \vec{b}=\left[\begin{array}{c}2 \\ -2 \\ 2\end{array}\right] b = ​2−22​ ​ ，判断这两个向量是否正交。同时，编写一个程序来验证。

答案

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1. 线性方程组
给定方程组:
$$\begin{array}{rl}& 2x+y=5\\ & x-3y=-4\end{array}$$
求解步骤:

1. 为了消除 $y$ ，将(1)式乘以 3 :
   $$6x+3y=15$$
2. 将(3)式和(2)式相加，得:
   $$7x=11⟹x=\frac{11}{7}$$
3. 将 $x=\frac{11}{7}$ 代入(1)式:
   $$2\left(\frac{11}{7}\right)+y=5⟹y=5-\frac{22}{7}=\frac{35-22}{7}=\frac{13}{7}$$

2. 线性方程组的矩阵求解法
考虑方程组:
$$\begin{array}{r}x+2y=3\\ 3x+4y=7\end{array}$$

1. 写成矩阵形式 $AX=B$ :
   $$\begin{array}{c}A=\left[\begin{array}{ll}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]\\ X=\left[\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right]\\ B=\left[\begin{array}{l}3\\ 7\end{array}\right]\end{array}$$
2. 求 $A^{-1}$ :
   步骤 1: 构造增广矩阵
   首先，我们将矩阵 $A$ 与单位矩阵 $I$ 结合，形成一个增广矩阵:
   $$[A\mid I]=\left[\begin{array}{llll}1& 2& 1& 0\\ 3& 4& 0& 1\end{array}\right]$$
   步骤 2: 使用行初等变换
   我们的目标是使用行初等变换使 $A$ 的部分变为单位矩阵。这样，单位矩阵部分就会变成 $A$ 的 逆。
   首先，我们希望第一列的第二个元素为 0 ，所以我们从第二行减去第一行的三倍:
   $$R_2=R_2-3R_1$$
   得到:
   $$\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 0& -2& -3& 1\end{array}\right]$$
   接着，我们希望第二列的第二个元素为 1 ，所以我们将第二行除以 -2 :
   $$R_2=-\frac{1}{2}{R}_2$$
   得到:
   $$\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 0& 1& 1.5& -0.5\end{array}\right]$$
   然后，为了使第二列的第一个元素为 0 ，我们从第一行减去第二行的两倍:
   $$R_1=R_1-2R_2$$
   得到:
   $$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& -2& 1\\ 0& 1& 1.5& -0.5\end{array}\right]$$
   此时，矩阵 $A$ 的部分已经变为单位矩阵。
   步骤 3: 提取 $A$ 的逆
   从增广矩阵的右侧部分，我们可以提取 $A$ 的逆矩阵:
   $$A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}-2& 1\\ 1.5& -0.5\end{array}\right]$$
3. 用 $A^{-1}$ 乘以 $B$ 来得到 $X$
   使用上述的 $A^{-1}$ ，我们得到 $X$ 的结果为:
   X = ∣ 1 1 ∣ X=\left|\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right| X= ​11​ ​
   所以，方程组的解是 $x=1$ 和 $y=1$ 。

3. 矩阵乘法
给定矩阵
$$A=\left[\begin{array}{ll}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]$$
和
$$B=\left[\begin{array}{ll}2& 0\\ 1& 3\end{array}\right]$$
为了得到 $A\times B$ 的结果，我们按照矩阵乘法的定义执行以下步骤:

1. 取矩阵 $A$ 的第一行与矩阵 $B$ 的第一列相乘后求和，得到结果矩阵的第一个元素。
   $$(1\times 2)+(2\times 1)=2+2=4$$
   这是结果矩阵的左上角元素。
2. 接下来，取矩阵 $A$ 的第一行与矩阵 $B$ 的第二列相乘后求和，得到结果矩阵的第二个元素。
   $$(1\times 0)+(2\times 3)=0+6=6$$
   这是结果矩阵的右上角元素。
3. 对于结果矩阵的左下角元素，我们取矩阵 $A$ 的第二行与矩阵 $B$ 的第一列相乘后求和。
   $$(3\times 2)+(4\times 1)=6+4=10$$
4. 最后，对于结果矩阵的右下角元素，我们取矩阵 $A$ 的第二行与矩阵 $B$ 的第二列相乘后求 和。
   $$(3\times 0)+(4\times 3)=0+12=12$$
   将以上结果汇总，我们得到矩阵 $A\times B$ 为:
   $$\left[\begin{array}{cc}4& 6\\ 10& 12\end{array}\right]$$

4. 向量的数乘
给定向量
$$v=\left[\begin{array}{l}1\\ 3\end{array}\right]$$
我们要求 $5\times v$ 。
向量的数乘是标量与向量的每个元素相乘。具体来说:

1. 将向量 $v$ 的第一个元素乘以 5 :
   $$5\times 1=5$$
2. 将向量 $v$ 的第二个元素乘以 5 :
   $$5\times 3=15$$
   所以，结果向量为
   $$5\times v=\left[\begin{array}{c}5\\ 15\end{array}\right]$$

5. 向量的加法
给定向量
$$a=\left[\begin{array}{l}2\\ 1\end{array}\right]$$
和
$$b=\left[\begin{array}{c}3\\ -2\end{array}\right]$$
我们要求 $a+b$ 。
两个向量的加法是它们的每个对应元素的和。具体来说:

1. 将向量 $a$ 和 $b$ 的第一个元素相加:
   $$2+3=5$$
2. 将向量 $a$ 和 $b$ 的第二个元素相加:
   $$1-2=-1$$
   所以，结果向量为
   $$a+b=\left[\begin{array}{c}5\\ -1\end{array}\right]$$

6. 向量的线性组合
给定向量
v ⃗ 1 = [ 2 1 4 ] \vec{v}_1=\left[\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 4 \end{array}\right] v 1​= ​214​ ​
和
v ⃗ 2 = [ 1 3 − 1 ] \vec{v}_2=\left[\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ -1 \end{array}\right] v 2​= ​13−1​ ​
我们需要生成这两个向量的线性组合。
线性组合的定义是:
$$c_1{v}_1+c_2{v}_2$$
其中 $c_1$ 和 $c_2$ 是任意的常数。
为了形成这两个向量的线性组合，我们可以选择任意值的 $c_1$ 和 $c_2$ 。例如，如果我们选择 $c_1=2$ 和 $c_2=3$ ，则线性组合为:
2 [ 2 1 4 ] + 3 [ 1 3 − 1 ] 2\left[\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 4 \end{array}\right]+3\left[\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ -1 \end{array}\right] 2 ​214​ ​+3 ​13−1​ ​
计算每个组件:

1. 第一个组件: $2\times 2+3\times 1=7$
2. 第二个组件: $2\times 1+3\times 3=11$
3. 第三个组件: $2\times 4+3\times (-1)=5$
   所以，结果向量为:
   [ 7 11 5 ] \left[\begin{array}{c} 7 \\ 11 \\ 5 \end{array}\right] ​7115​ ​

import numpy as np
# Define the vectors v1 and v2
v1 = np.array([[2], [1], [4]])
v2 = np.array([[1], [3], [-1]])

# Compute the linear combination
c1 = 2
c2 = 3
result_linear_combination = c1 * v1 + c2 * v2
result_linear_combination

7. 向量空间 (张成空间)
考虑两个向量:
$$a=\left[\begin{array}{l}1\\ 2\end{array}\right]$$
和
$$b=\left[\begin{array}{l}2\\ 4\end{array}\right]$$
我们想确定这两个向量是否可以构成张成 ${\mathbb{R}}^2$ 。
首先，我们需要检查这两个向量是否线性相关。
两个向量线性相关的条件是其中一个向量是另一个向量的倍数。观察 $b$ ，我们可以看到它确实 是 $a$ 的2倍。因此，这两个向量是线性相关的。
线性相关的向量不能构成张成空间${\mathbb{R}}^2$ 。所以，答案是这两个向量不能张成 ${\mathbb{R}}^2$ 。

8. 向量的线性相关和线性无关
考虑向量
$$v_1=\left[\begin{array}{l}2\\ 3\end{array}\right]$$
和
$$v_2=\left[\begin{array}{l}4\\ 6\end{array}\right]$$
为了确定这两个向量是否线性相关，我们需要看是否存在一个常数 $k$ 使得
$$v_2=k{v}_1$$
通过对比元素，我们可以发现 $v_2$ 是 $v_1$ 的2倍，所以 $k=2$ 。因此，这两个向量是线性相关 的。

9. 向量乘法
给定向量
$$u=\left[\begin{array}{l}1\\ 2\end{array}\right]$$
和
$$v=\left[\begin{array}{l}3\\ 4\end{array}\right]$$
我们想计算它们的点积。点积定义为两个向量的对应元素相乘后相加:
$$u\cdot v=u_1\times v_1+u_2\times v_2=1\times 3+2\times 4=3+8=11$$

10. 向量的正交
    考虑向量
    a ⃗ = [ 1 0 − 1 ] \vec{a}=\left[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right] a = ​10−1​ ​
    和
    b ⃗ = [ 2 − 2 2 ] \vec{b}=\left[\begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 2 \end{array}\right] b = ​2−22​ ​
    两个向量正交的条件是它们的点积为零。我们需要计算 $a$ 和 $b$ 的点积:
    $a\cdot b=a_1\times b_1+a_2\times b_2+a_3\times b_3=1\times 2+0\times (-2)+(-1)\times 2=2-2=0$
    因为它们的点积为零，所以 $a$ 和 $b$ 是正交的。

import numpy as np
a = np.array([[1], [0], [-1]])
b = np.array([[2], [-2], [2]])

# Calculate results
dot_product_ab = np.dot(a.T, b)[0][0]
dot_product_ab