离散数学(屈婉玲)图论＜二＞

前言：

看了一下昨天更的，原本想在给补充补充部分知识点。但是，大致一看，应付期末考试还是可以滴！考研之类的需要的，(我也只是大一嘛，呜呜呜，我也不会),这个就是帮助大一童鞋们学习呢！(捂脸)

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图的连通性

连通图：无向图G是平凡图（只有个点），或者任何两个顶点均是连通的。

连通：两个顶点之间有一条边。u，v连通，记作u~v。

短程线：若u~v，则u与v之间最短通路为其短程线。短程线长度为uv之间距离

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对于一个无向图G：

定义一：删除一个点v是指删除点 v以及所有与点 v关联的边。

定义二：删除一条边e是指删除这条边， 但是保留e的两个顶点。

 点割集： V是一些顶点的集合， 如果删除V中的所有顶点之后，G不在连通， 但是对于V的任何真子集 V1，删除V1后G 仍然连通，则称V是点割集。

割点： 如果点割集里只有一个顶点，那么这个顶点叫做割点。

点连通度： 最小的点割集的大小。

边割集：E是一些边的集合，如果删除E里的所有边之后G不在连通， 但是对于 E 的任何真子集 E1，删除E1 之后G 仍然连通， 则称E是边割集。

桥：如果边割集里只有一条边， 该边称为桥。

边连通度： 最小的边割集的大小。

双连通： 如果一个图没有割点， 那么这个图称为2-连通的，或者双连通的。

一个图的极大双连通子图称为双连通分量。注意是极大而不是最大，即意味双连通子图不一定只有一个。

 

举个例子：

 {v1，V4}为点割集是因为去除这两点后，发现V2孤立，该图上的所有点不再连通。

{V6}去除v6后，你会发现，去除该点后，导致V7不再与原图连通。为割点

割点通常为一个点，点割集可以为多个。

对于边割集，也是同理，去除该边后，导致原图不再连通

对于桥（一条边哈）：去除某个边后，发现有个点孤立。

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点连通度：

在图论中，点连通度是用来衡量无向图联通性强弱的一个参数。对于一个无向图 (G)，它的点连通度（vertex connectivity），记作 ( \kappa(G) )，定义为使得 (G) 变为不连通的最小顶点数，或者说是最小点割集的大小。换句话说，点连通度是需要删除的最少顶点数，使得原图从一个连通图变成不连通图或者增加连通分量的数量。

边连通度：

在图论中，边连通度是衡量一个图的连通性强度的指标，它反映了在保持图连通的前提下，可以删除的最大边数。对于一个无向图 (G)，边连通度（edge connectivity）记作 ( \lambda(G) )，定义为使得 (G) 变为不连通或者变为一个更多连通分量的图的最小边数。

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 不可否认，这部分都是字，我自己都看不下去了(捂脸)，给你插个图，嘻嘻，缓解疲劳

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对于k连通图问题：

在图论中，一个图如果至少有 (k) 个顶点，且它的点连通度至少为 (k)，那么这个图被称为 (k)-连通图（k-vertex-connected graph）。这意味着在图中删除任意少于 (k) 个顶点后，图仍然保持连通。换句话说，没有任何少于 (k) 个顶点的集合能够将图分割成不连通的部分。

类似地，如果一个图的边连通度至少为 (k)，那么这个图被称为 (k)-边连通图（k-edge-connected graph）。这意味着在图中删除任意少于 (k) 条边后，图仍然保持连通。没有任何少于 (k) 条边的集合能够将图分割成不连通的部分。

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连通性及分类

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扩大路径

有一个 关于他的一个题，试试证证

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二部图

二部图和完全二部图区别：

• 结构的严格性： 所有的完全二部图都是二部图，但并非所有的二部图都是完全二部图。完全二部图具有更严格的结构要求，即两个不同集合之间的顶点必须两两相连。
• 边的数量： 在完全二部图中，边的数量是最大化的，因为每对不同集合之间的顶点都有一条边相连。而普通的二部图不要求每对顶点之间都存在边，边的数量可以少于完全二部图。
• 表示方式： 完全二部图通常用 (K_{m,n}) 来表示，这里的 (m) 和 (n) 分别代表两个顶点集合的大小。对于普通的二部图，没有这样特定的表示方法。    
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图的矩阵表示

 e1V1表示的是V1与e1的关联次数

但由于题上的为圈，所以为2！

对于有向图：入度为一1，出度为1，通常不考虑环。

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 邻接矩阵

在图中可以看到，v1到v2有两条边，所以为2。

v1到v1没有边，所以为0。

v4到v4就一条边，所以为1。

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性质

邻接矩阵的性质包括：

1. 大小固定： 对于含有 (n) 个顶点的图，邻接矩阵是一个 (n \times n) 的方阵。

2. 元素为非负整数： 矩阵中的元素 (A[i][j]) 表示顶点 (i) 到顶点 (j) 的边的数量。对于简单图（没有自环和多重边的图），这个值通常是 0 或 1。

3. 对角线元素： 对于没有自环的简单图，邻接矩阵的对角线元素都是 0，因为顶点不会与自身相连。

4. 对称性（无向图）： 如果图是无向的，则邻接矩阵是对称的，即 (A[i][j] = A[j][i])。这是因为无向图中的边没有方向，顶点 (i) 到顶点 (j) 的连接与顶点 (j) 到顶点 (i) 的连接是相同的。

5. 非对称性（有向图）： 如果图是有向的，则邻接矩阵可能不是对称的，因为有向边从顶点 (i) 指向顶点 (j) 并不意味着存在从顶点 (j) 指向顶点 (i) 的反向边。

6. 行列和： 对于无权图，邻接矩阵的某一行或列的和表示对应顶点的度数。对于无向图，第 (i) 行或第 (i) 列的和表示顶点 (i) 的度数；对于有向图，第 (i) 行的和表示顶点 (i) 的出度，第 (i) 列的和表示顶点 (i) 的入度。

7. 乘积性质： 邻接矩阵的幂可以表示顶点之间通过特定数量步骤可达的路径数。例如，矩阵 (A^k) 中的元素 (A^k[i][j]) 表示从顶点 (i) 到顶点 (j) 经过恰好 (k) 条边的路径数量。

8. 谱性质： 邻接矩阵的特征值和特征向量（统称为图的谱）可以提供图的许多重要信息，如图是否连通、图的直径等。

9. 稀疏性： 在许多实际应用中，图往往是稀疏的，即边的数量远小于顶点对的数量。在这种情况下，邻接矩阵中的大多数元素都是 0，这使得在存储和处理这类矩阵时需要采用特殊的稀疏矩阵技术。

邻接矩阵的算法

这个怎么说呢，就是要得到的矩阵它所对应的，例如来说A2第一行第一个，他就是A1的第一行与A1第一列相乘之和，要求A2的第M行第N列数的话，就是从A1的第M行第一个与A1的第N列从上面数第一个，相乘之和，具体如何相乘，请看上面这张照片！！！

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可达矩阵

若V1可到达V2，即称其可达，记作1。否则记为0。

在可达矩阵中，对角线为1。因为Vi到Vi为可达。

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这节知识点可能确实有点多，有点抽象，但是仔细想想，还好，不难理解哒。

祝大家学习进步吼！！！