【高数】函数有原函数与函数可积的区别与联系

首先，函数可积≠函数有原函数！！！两者之间并无关系！

函数有原函数，是指有一个函数的导数等于这个函数，即存在一个可导函数，其导函数等于目标函数。函数可积，是指如果f(x)在[a,b]上的定积分存在（即曲线和轴围出来的面积存在且不为无穷），则说f(x)在[a,b]上可积，即f(x)是[a,b]上的可积函数。（注意区间限制 ）

• 原函数存在定理

①若f(x)在区间I上连续，则f(x)在区间I上一定存在原函数。

②若f(x)在区间I上有第一类间断点，则f(x)在区间I上没有原函数。（有震荡间断点，依然可能有原函数）

• 函数可积的充分条件（定积分存在）

①若f(x)在[a,b]上连续，则在该区间必然可积。（暗含有界 ）
②若f(x)在[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则在该区间必然可积。
③ 若f(x)在[a,b]上只有有限个第一类间断点，则在该区间必然可积。

从原函数存在的条件和函数可积的条件可以很明显的看到两者之间并无联系。如果一个函数连续，那么它既可积又存在原函数，但是对于一个在某区间有间断点的函数，在该区间内，如果是有第一类间断点，那就必然不可能存在原函数，但仍然按可能是可积的；如果只存在第一类间断点，则必然是可积的。事实上，个人认为，判断一个函数是否可积，从几何意义上理解可能会更方便。

一些举例如下：

But Why is that ？？？

一个函数可积，就意味着在这个区间里定积分存在，再通过莱布尼茨公式，就可以把函数可积与原函数存在联系起来，用上限下限代入被积函数的原函数相减求值，即被积函数只要可积就有原函数。

越看越有道理，所以问题到底在哪里？？？

借用武忠祥老师的话：经典的错误，标准的零分。

忽略了一个问题，两个函数相等需要同时满足两个条件：
①定义规则相同
②自变量的定义域D相同

解释看图片吧~写的很清楚了（网上截得）

• 如果一个被积函数在闭区间内可积，那么这个函数在此闭区间内的变上限积分函数是连续的，（177题）但不一定可导，除非f(x)连续。即：f(x)连续，则它的积分可导，否则不可导。

• 导函数在定义的闭区间内没有第一类间断点。（可用导数介值定理解释）

如果导函数在它的间断点处是有定义的（也就是原函数在这点是存在导数的），那么这点不可能是导函数的第一类间断点。

理由：如果导函数在该点处有定义（原函数在该点可导），而导函数在该点左右极限都存在但不相等，那么原函数在该点处存在左导数和右导数，分别等于导函数在该处的左极限和可极限，但由于这两个极限不相等，所以原函数在该点处的左导数和右导数不相等，这与导函数在该点有定义（原函数在该点存在导数）矛盾，所以如果导函数在该点存在左右极限且不相等，则导函数在该点处没有定义（原函数在这点不可导，因为左导数和右导数不等），如果要求导函数在该点处有定义（原函数在该点处可导）的话，则导函数在该点处的两上极限要么相等，要么至少有一个不存在。

2021 0603补充

由上面内容我们知道，若函数 f(x) 有原函数，则一定没有第一类间断点，这一内容可以联系导数介值定理进行理解。

• 导函数介值定理（达布定理）:
  

由导函数介值定理可知，如果f(x)可导，则其导函数一定不存在第一类间断点以及无穷间断点，但仍可存在振荡间断点。（导函数本身的特性，用起来很棒，详解以及其他特性放到下一篇吧，有时间再写嘿嘿）

那么如果f(x)有原函数，就意味着函数f(x)是某一个函数的导函数，即 f(x)一定没有第一类间断点以及无穷间断点，可能存在振荡间断点。也就是说如果函数f(X)有原函数，则该函数要么连续，要么仅存在振荡间断点。

这也算是更进一步深刻理解函数有没有原函数这个问题了吧~~~