动态规划(7)_路径问题_礼物的最大价值

一、题目解析

我们先来看一下题，题目告诉我们给了我们一个二数组frame，其中frame[i][j]为该位置的珠宝价值，我们只能从左上角也就是[0][0]位置开始拿珠宝，每次只能往右或者往下走一步，然题目问我们到达右下角的时候可以拿到的最高价值。相信大家都知道这道题让我们做什么了，好，接下来我们看一下怎么解决这道问题。

二、算法原理

1、状态表示

根据我们做前面几道题的经验加上题目要求，我们可以直接定义一个状态表示。

dp[i[[j]表示：到达[i][j]位置，取得的珠宝最高价值。

2、状态转移方程

根据题目的要求，我们有两种方式到达[i][j]位置，第一种是从[i-1][j]的位置到达[i][j]位置，另一种是从[i][j-1]的位置到达[i][j]位置，我们先来看第一种。

我们从[i-1][j]位置到[i][j]，我们只要知道到达[i-1][j]的珠宝最高价值，在加上[i][j]位置的珠宝价值是不是就是[i][j]位置的价值呢？[i-1][j]的珠宝最高价值在哪里呢？不就在我们的状态表示里面吗？也就是dp[i-1][j]里面。

同理，我们从[i][j-1]位置到[i][j]，也需要到达知道[i][j-1]的珠宝最高价值，它就在dp[i][j-1]里面，在加上[i][j]位置的价值即可。

题目要求的是最大的价值，因此我们仅需要取一个最大值即可。

因此状态转移方程:dp[i][j] = max(dp[i-1][j]，dp[i][j-1]) + frame[i][j]

3、初始化

初始化的时候看状态转移方程，当我们填dp[0][0]位置的是会用到dp[-1][[0]和dp[0][-1]的值，但是这两个位置越界了呀，因此我们创建dp表的时候可以多开一行多开一列，然后从dp[1][1]的位置填表，那么这个我们会用到dp[0][1]和dp[1][0]这两个位置的值，那么我们初始化成什么呢？dp[1][1]表示到达[1][1]时候的最大价值，最大价值是什么？不就是frame[0][0]吗？因此将这两个位置初始化为0即可。那么第一行和第一列的其它位置初始化为什么呢？其实也初始化为0即可。这个地方要注意frame数组下标的映射关系。因为我们多开了一行一列，因此它的下标需要-1的。

4、填表

从上往下，从左往右填表即可。

5、返回结果

因为多开了一行多开了一列，因此直接返回dp[m][n]即可。

三、编写代码

希望大家可以根据算法原理自己尝试编写一下代码。

LCR 166. 珠宝的最高价值 - 力扣（LeetCode）

class Solution 
{
public:
    int jewelleryValue(vector>& frame) 
    {
        int m = frame.size(), n = frame[0].size();
        //1、创建dp表
        vector> dp(m + 1, vector(n + 1));
       //2、填表
        for(int i = 1; i <= m; i++)
            for(int j = 1; j <= n; j++)
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + frame[i - 1][j - 1];
        //3、返回值
        return dp[m][n];
    }
};