一、标量场和矢量场

1、标量场

所谓标量场,就是在空间各点存在着一个标量 Φ \Phi Φ,它的数值是空间位置的函数。在一般的情况下,标量场是分布在三维空间的。若采用三维的直角坐标 ( x , y , z ) (x,y,z) (x,y,z) 来描写空间各点的位置,则 Φ \Phi Φ x , y , z x,y,z x,y,z 的三元函数,即
Φ = Φ ( x , y z ) (1) \Phi=\Phi(x,yz)\tag{1} Φ=Φ(x,yz)(1)
如果标量 Φ \Phi Φ 指的是气压 P P P ,这个标量场就叫做气压场;如果标量指的是温度 T T T,这个标量场就叫做温度场,等等。
研究任何标量场时,人们常常引入“等值面”的概率。所谓等值面,就是下列方程式的轨迹:
Φ ( x , y , z ) = 常数 (2) \Phi(x,y,z)=常数\tag{2} Φ(x,y,z)=常数(2)
(在二维空间里轨迹是曲线,所以叫“等值线”。在三维空间里轨迹形成曲面,所以叫“等值面”。)如气压场中的等压面,电场中的等势面,都是等值面。

2、矢量场

所谓矢量场,就是在空间各点存在着的一个矢量,它的大小和方向是空间位置的函数。显然这是多元函数。譬如我们用直角坐标 ( x , y , z ) (x,y,z) (x,y,z)来描写空间各点的位置,则矢量 A A A x , y , z x,y,z x,y,z的三元函数,即
A = A ( x , y , z ) (3) \pmb{A}=\pmb{A}(x,y,z)\tag{3} A=A(x,y,z)(3)
矢量 A \pmb{A} A 还可以分解成三个分量 A x , A y , A z A_x,A_y,A_z Ax,Ay,Az,每个分量都是 x , y , z x,y,z x,y,z 的函数,所以如果将式(3)写成分量形式的话,它实际包含了三个函数式:
A x = A x ( x , y , z ) A y = A y ( x , y , z ) A z = A z ( x , y , z ) } (4) \begin{aligned} \left.\begin{aligned} A_x&=A_x(x,y,z)\\ A_y&=A_y(x,y,z)\\ A_z&=A_z(x,y,z) \end{aligned} \right\} \qquad \tag{4} \end{aligned} AxAyAz=Ax(x,y,z)=Ay(x,y,z)=Az(x,y,z) (4)
如果矢量 A \pmb{A} A 指的是流体的流速 v \pmb{v} v,这v矢量场就叫做流速场;如果矢量 A \pmb{A} A 指的是电场强度 E \pmb{E} E,这E矢量场就叫做电场,等。
研究任何矢量场时,人们常引入“场线”和“场管”的概念。所谓“场线”,就是这样一些有方向的曲线,其上每一点的切线方向都和该点的场矢量 A \pmb{A} A 的方向一致。由一束场线围城的管状区域,叫做场管。如流速场中的流线,电场中的电场线都是场线,流速场中的流管,电场中的电场管都是管场,等等。

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