计算机系统基础知识 之 数据表示
计算机系统基础知识之数据表示
- 1、综述
- 2、原码、反码、补码和移码
-
- 2.1、原码表示法
- 2.2、反码表示法
- 2.3、补码表示法
- 2.4、移码表示法
- 3、定点数和浮点数
-
- 3.1、定点数
- 3.2、浮点数
- 3.3、工业标准IEEE 754
- 3.4、浮点数运算
1、综述
各种数值在计算机中表示的形式称为机器数，其特点是采用二进制计数值，数的符号用0和1表示，小数点则隐含，表示不占位置。机器数对应的实际数值称为数的真值。
机器数有无符号数和带符号数之分。无符号数表示正数，在机器数中没有符号位。对于无符号数，若约定小数点的位置在机器数的最低位之后，则是纯整数；若约定小数点的位置在机器数的最高位之前，则是纯小数。对于带符号数，机器数的最高位是表示正、负的符号位，其余位则表示数值。
为了便于运算，带符号的机器数可采用原码、反码和补码等不同的编码方法，机器数的这些编码方法称为码制。
2、原码、反码、补码和移码
2.1、原码表示法
数值X的原码记为[X]原，如果机器字长为n（即采用n个二进制位表示数据），则原码的定义如下：
若X是纯整数，则:
(1) 0 ≤ X ≤ 2n-1 - 1 时, [X]原 = X
(2) -(2n-1 - 1) ≤ X ≤ 0 时, [X]原 = 2n-1+|X|
若X是纯小数，则:
(1) 0 ≤ X < 1 时, [X]原 = X
(2) -1 < X ≤ 0 时, [X]原 = 20+|X|
【例 1.1】 若机器字长 n 等于 8，分别给出 +1，-1，+127，-127，+45，-45，+0.5，-0.5 的原码表示。
[+1]原 = 0 0000001 [-1]原 = 1 0000001
[+127]原 = 0 1111111 [-127]原 = 1 1111111
[+45]原 = 0 0101101 [-45]原 = 1 0101101
[+0.5]原 = 0 ♢1000000 [-0.5]原 = 1 ♢1000000 （其中，♢ 表示小数点的位置）
在原码表示法中，最高位是符号位，0 表示正号，1表示符号，其余的n-1位表示数值的绝对值。数值0的原码表示有两种形式：[+0]原 = 0 0000000，[-0]原 = 1 0000000。
2.2、反码表示法
数值X的反码记为[X]反，如果机器字长为n，则反码的定义如下：
若X是纯整数，则:
(1) 0 ≤ X ≤ 2n-1 - 1 时, [X]反 = X
(2) -(2n-1 - 1) ≤ X ≤ 0 时, [X]反 = 2n -1 + X
若X是纯小数，则:
(1) 0 ≤ X < 1时， [X]反 = X
(2) -1 < X ≤0 时, [X]反 = 2 - 2-(n-1)+ X
【例 1.2】 若机器字长 n 等于 8，分别给出 +1，-1，+127，-127，+45，-45，+0.5，-0.5 的反码表示。
[+1]反 = 0 0000001 [-1]反 = 1 1111110
[+127]反 = 0 1111111 [-127]反 = 1 0000000
[+45]反 = 0 0101101 [-45]反 = 1 1010010
[+0.5]反 = 0 ♢1000000 [-0.5]反 = 1 ♢0111111（其中，♢ 表示小数点的位置）
在反码表示法中，最高位是符号位，0 表示正号，1表示符号，正数的反码与原码相同，负数的反码则是其绝对值按位求反。数值0的反码表示有两种形式：[+0]反 = 0 0000000，[-0]反 = 1 1111111。
2.3、补码表示法
数值X的补码记为[X]补，如果机器字长为n，则补码的定义如下：
若X是纯整数，则:
(1) 0 ≤ X ≤ 2n-1 - 1时 , [X]补 = X
(2) -2n-1 ≤ X ≤ 0 时, [X]补 = 2n + X
若X是纯小数，则:
(1) 0 ≤ X < 1时， [X]补 = X
(2) -1 ≤ X < 0 时, [X]补 = 2 + X
【例 1.3】 若机器字长 n 等于 8，分别给出 +1，-1，+127，-127，+45，-45，+0.5，-0.5 的补码表示。
[+1]补 = 0 0000001 [-1]补 = 1 1111111
[+127]补 = 0 1111111 [-127]补 = 1 0000001
[+45]补 = 0 0101101 [-45]补 = 1 1010011
[+0.5]补 = 0 ♢1000000 [-0.5]补 = 1 ♢1000000（其中，♢ 表示小数点的位置）
在补码表示中，最高位是符号位，0 表示正号，1表示符号，正数的补码与其原码和反码相同，负数的反码则是其反码的末位加 1。数值0的补码表示有唯一的编码：[+0]补 = 0 0000000，[-0]补 = 0 0000000。
2.4、移码表示法
移码表示法是在数X上增加一个偏移量来定义的，常用于表示浮点数中的阶码。如果机器字长为n，规定偏移量为2n-1，则移码的定义如下：
若X是纯整数，则[X]移 = 2n-1 + X （ -2n-1 ≤ X < 2n-1）
若X是纯小数，则[X]移 = 1 + X （ -1 ≤ X < 1）
【例 1.4】 若机器字长 n 等于 8，分别给出 +1，-1，+127，-127，+45，-45，+0，-0 的移码表示。
[+1]移 = 1 0000001 [-1]移 = 0 1111111
[+127]移 = 1 1111111 [-127]移 = 0 0000001
[+45]移 = 1 0101101 [-45]移 = 0 1010011
[+0]移 = 10000000 [-0]补 = 10000000
实际上，在偏移2n-1的情况下，只要将补码的符号位取反便可获得相应的移码表示。
3、定点数和浮点数
3.1、定点数
所谓定点数，就是小数点的位置固定不变的数。 小数点的位置通常有两种约定方式：定点整数（纯整数，小数点在最低有效数值位之后）和定点小数（纯小数，小数点在最高有效数值位之前）。
设机器字长为n，各种码制下带符号数的范围如下表。
| 码制 | 定点整数 | 定点小数 |
|---|---|---|
| 原码 | -（2n-1 - 1） ~ +（2n-1 - 1） | -（1 - 2-(n-1)）~ +（1 - 2-(n-1)） |
| 反码 | -（2n-1 - 1） ~ +（2n-1 - 1） | -（1 - 2-(n-1)） ~ +（1 - 2-(n-1)） |
| 补码 | -2n-1 ~ +（2n-1 - 1） | -1 ~ +（1 - 2-(n-1)） |
| 移码 | -2n-1 ~ +（2n-1 - 1） | -1 ~ +（1 - 2-(n-1)） |
3.2、浮点数
当机器字长为n时，定点数的补码和移码可表示2n个数，而其原码和反码只能表示2n-1个数（0的表示占用了两个编码），因此，定点数所能表示的数值范围比较小，在运算中很容易因结果超出范围而溢出。浮点数是小数点位置不固定的数，它能表示更大范围的数。
在十进制中，一个数可以写成多种表示形式。如：83.125可写成103 X 0.083125或104 X 0.0083125等。同样，一个二进制数也可以写成多种表示形式。如：二进制数1011.10101可以写成24 X 0.101110101、25 X 0.0101110101 或 26 X 0.00101110101等。由此可知，一个二进制数N可以表示为更一般的形式N=2E X F，其中E称为阶码，F称为尾数。用阶码和尾数表示的数称为浮点数，这种表示数的方法称为浮点表示法。
在浮点表示法中，阶码为带符号的纯整数，尾数为带符号的纯小数。浮点数的表示格式如下：
| 阶符 | 阶码 | 数符 | 尾数 |
|---|
很明显，一个数的浮点表示不是唯一的。当小数点的位置改变时，阶码也随着相应改变，因此可以用多个浮点形式表示同一个数。
浮点数所能表示的数值范围主要由阶码决定，所表示数值的精度则由尾数决定。为了充分利用尾数来表示更多的有效数字，通常采用规格化浮点数。规格化就是将尾数的绝对值限定在区间[0.5,1]。当尾数用补码表示时，需要注意如下问题：
①若尾数M≥0，则其规格化的尾数形式为M=0.1X X X … X，其中，X可为0，也可为1，即将尾数限定在区间[0.5,1]。
②若尾数M<0，则其规格化的尾数形式为M=1.0X X X … X，其中，X可为0，也可为1，即将尾数限定在区间[-1,-0.5]。
如果浮点数的阶码（包括1位阶符）用R位的移码表示，尾数（包括1位数符）用M位的补码表示，则这种浮点数所能表示的数值范围如下:
最大的正数：+（1 - 2-M+1） X 2(2R-1-1)1， 最小的负数：-1 X 2(2R-1-1)1
3.3、工业标准IEEE 754
IEEE 754是由IEEE制定的有关浮点数的工业标准，被广泛采用。该标准的表示形式如下：
（-1）S2E（b0b1b2b3…bp-1）
其中，（-1）S为该浮点数的数符，当S为0时表示正数，S为1时表示负数；E为指数（阶码），用移码表示；（b0b1b2b3…bp-1）为尾数，其长度为P位，用原码表示。
目前，计算机中主要使用3种形式的IEEE 754浮点数，如下表所示：
| 参数 | 单精度浮点数 | 双精度浮点数 | 扩充精度浮点数 |
|---|---|---|---|
| 浮点数字长 | 32 | 64 | 80 |
| 尾数长度P | 23 | 52 | 64 |
| 符号位S | 1 | 1 | 1 |
| 指数长度E | 8 | 11 | 15 |
| 最大指数 | +127 | +1023 | +16383 |
| 最小指数 | -126 | -1022 | -16382 |
| 指数偏移量 | +127 | +1023 | +16383 |
| 可表示的实数范围 | 10-38 ~ 1038 | 10-308 ~ 10308 | 10-4932 ~ 104932 |
根据IEEE 754标准，被编码的值分为3种不同的情况：规格化的值、非规格化的值和特殊值，规格化的值为最普遍的情形。
①规格化的值。
当阶码部分的二进制值不全为0也不全为1时，所表示的是规格化的值。如：在单精度浮点格式下，阶码为 10110011 时，偏移量为 +127（01111111），则其表示的真值为 10110011-01111111=00110100，转换为十进制后为52.
对于尾数部分，由于约定小数点左边隐含有一位，通常这位数就是1，因此单精度浮点数尾数的有效位数为24位，即尾数为 1.XX…X。也就是说，不溢出的情况下尾数M的值在 1≤ M < 2 之中，这是一种获得一个额外精度位的表示技巧。
例如，单精度浮点数格式下，b0b1…b22 = 0100 1001 1000 1000 1001 001 时，其对应的尾数真值为 1+2-2+2-5+2-8+2-9+2-13+2-17+2-20+2-22+2-23 即尾数的真值为1.28724038600921630859375（在程序中以十进制方式输出时，由于精度的原因不能完全给出此值）。
【例 1.5】 利用IEEE 754标准将数176.0625表示为单精度浮点数。
解：首先将该十进制转换成二进制数。
(176.0625)10 = (10110000.0001)2
其次，对二进制数进行规格化处理：10110000.0001 = 1♢01100000001 X 27。这就保证了使b0为1，而且小数点应当在♢位置上。将b0去掉并扩展为单精度浮点数所规定的23位尾数01100000001000000000000。
然后求阶码，上述表示中的指数为7，而单精度浮点数规定指数的偏移量为127（注意，不是前面移码描述中所提到的128），即在指数7上加127.那么，E=7+127=134，则指数的移码表示为10000110。
最后，可得到(176.0625)10的单精度浮点数表示形式：0 10000110 01100000001000000000000
②非规格化的值
当阶码部分的二进制值全为0时，所表示的数是非规格化的。在这种情况下，指数的真值为 1-偏移量（对于单精度浮点数为-126，对于双精度浮点数为-1022），尾数的值就是二进制形式对应的小数，不包含隐含的1。
非规格化数有两个用途：一是用来表示数值0，二是表示那些非常接近于0的数。因为在规格化表示方式下，必须使尾数大于等于1，因此不能表示出0。实际上，+0.0的浮点数表示是符号、阶码和尾数的二进制表示都全为0。需要注意的时，符号位为1而阶码和尾数部分全为0时表示-0.0。也就是说，+0.0和-0.0在浮点表示时有所不同。
③特殊值
当阶码部分的二进制值全为1时，表示特殊的值。当尾数部分全部为0时表示无穷大，当符号位为0时表示+∞，当符号位为1时表示-∞。当浮点运算溢出时，用无穷来表示。当尾数部分不全为0时，称为“NaN”，即“不是一个数”。当运算结果不是实数或者无穷，就表示为NaN。
3.4、浮点数运算
设有浮点数X = M × 2j，Y = N × 2j，求X±Y的运算过程要经过对阶、求尾数和（差）、结果规格化并判溢出、舍入处理和溢出判别等步骤。
①对阶。使两个数的阶码相同。令K=|i-j|，把阶码小的数的尾数右移K位，使其阶码加上K。
②求尾数和（差）。
③结果规格化并判溢出。若运算结果所得的尾数不是规格化的数，则需要进行规格化处理。当尾数溢出时，需要调整阶码。
④舍入处理。在对结果右规时，尾数的最低位将因移出而丢掉。另外，在对阶过程中也会将尾数右移使最低位丢掉。这就需要进行舍入处理，以求得最小的运算误差。
⑤溢出判别。以阶码为准，若阶码溢出，则运算结果溢出；若阶码下溢（小于最小值），则结果为0；否则结果正确，无溢出。
浮点数相乘，其积的阶码等于两乘数的阶码相加，积的尾数等于两乘数的尾数相乘。浮点数相除，其商的阶码等于被除数的阶码减去除数的阶码，商的尾数等于被除数的尾数除以除数的尾数。乘除运算的结果都需要进行规格化处理并判断阶码是否溢出。
2(2R-1-1) 表示2的2R-1-1指数次方。 ↩︎ ↩︎