高中奥数 2021-09-08

2021-09-08-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 圆的初步 P037 例1）

如图,设是圆上的点,过作圆的切线,为该切线上异于的点,又不是圆上的点,且线段交圆于两个不同的点.圆与相切于点,与圆相切于点,且与在直线的两侧.证明:的外心在的外接圆上.

图1

证明

作两圆公切线满足与在同侧,取中点,中点,连结、、、、.

因,,则

于是.

故

因此在的外接圆上.

2021-09-08-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 圆的初步 P037 例2）

如图,的内切圆切、于、,、为、的中点,则与的交点在的延长线上.

图1

证明

设直线分别交、于、,连结、、、、、.

易知.

所以,从而.

又,故、、、四点共圆.

又,

故、、、四点共圆.

又、都在直线上,所以的外接圆与直线的交点为、、,故与重合,即在直线上.