矩阵的坐标变换

 

转http://learn.gxtc.edu.cn/NCourse/jxcamcad/cadcam/Mains/main11-2.htm

2.3.3 基本二维变换
    基本二维变换有比例变换（Scaling）、旋转变换（Rotating）、错切变换（Shearing）和平移变换（Translating）。
1）比例变换
比例变换就是将平面上任意一点的横坐标放大或缩小S11倍，纵坐标放大或缩小S22倍，即

其中S称为比例变换矩阵。图2．24是比例变换的几个例子。图中（b）是S11=S22的情况，（C）是S11≠S21的情况

 

2）旋转变换
    旋转变换就是将平面上任意一点绕原点旋转θ角，一般规定逆时针方向为正，顺时针方向为负。从图2．25可推出变换公式：

3）错切变换
    在旋转变换矩阵中，非对角线元素有何几何意义？观察图2．26中的例子。变换矩阵中元素S21起作把图形沿X方向“错切”的作用，Y值越小，错切量越小。S12则有将图形向Y方向“错切”的作用，同样其作用的大小与X值成正比。

4）平移变换
    平移交换指的是将平面上任意一点沿X方向移动C。，沿Y方向移动ty（图2．27），其变换公式为

由上式可见，平移交换不能直接用2X2矩阵来表示。下述齐次坐标变换矩阵则可解决这个问题。

注意:这句话关键(疑问点在于为什么二位转换需要3x3的矩阵)

2.3.4 齐次坐标
    如把平面上的点P=[Xy］放到空间去表示为[X Y H]，使得x＝ X/H， y＝Y/H 则称［X Y H」是点 P的齐次坐标。如规定齐次坐标的第三个分量H必须是 1，则称为规范齐次坐标。P=[xy」的规范齐次坐标是[x y 1]。显然，二维空间中描述的点与齐次坐标空间描述的点是一对多的关系。使用齐次坐标之后，平移交换可用矩阵乘法表示如下:

注意:现在可以看到平移的时候x1=x*1+x*0+x*tx,y1=y*0+y*1+y*ty即等于相加的做法,现在所有的转换都可以使用矩阵乘法了

2.3.5 复合变换

    实际问题中常遇到的是较为复杂的变换，但这些均可通过一系列的基本变换复合而成。下面举例说明。
例1 绕任意点C=［Cx Cy］的旋转变换。图2.28总的变换可通过三个基本变换复合而成。先进行平移交换，平移量为-Cx和-Cy，然后绕原点旋转θ角，最后再进行平移量为Cx和Cy的平移变换。因此，任一点P经过逐次变换后的齐次坐标为

变换矩阵称为复合变换矩阵。

例 2相对于任意点 C=［Cx Cy］的比例变换

 
与例1其复合变换阵三个变换复合而成。即为 

由上述计算过程知，一个简单比例变换需要有三个计算步骤。对第一次平移，可看成是将变换物移动到坐标系的原点，第二次平移则可看成将变换物移回原位。
例3 相对于直线 ax+by+c=0 进行对称变换 

此例可由五个基本变换复合而成，复合变换矩阵可按下式进行计算