P1809 过河问题【解析】

有一类贪心问题具有一定的迷惑性，大多数同学初步思考时会很快得到一种‘看上去很正确’的贪心策略，但是对于大部分贪心问题不能贸然得出结论。我们可以尝试构造一些反例推翻该策略。但是，即使该策略被推翻了，也不一定说明它完全错误，还有可能是在不同条件下贪心策略不同，此时需要分类讨论。因此，在解决贪心问题时，需要我们使用“构造方法、反例验证、打表观察、数学推导”等多种方式结合、多次尝试后，才能最终得到正确的方法。

例如过河问题
有四个人要从 A 点坐一条船过河到 B 点，船一开始在 A 点。该船一次最多可坐两个人。 已知这四个人中每个人独自坐船的过河时间分别为 1,2,4,8，且两个人坐船的过河时间为两人独自过河时间的较大者。则最短（ ）时间可以让四个人都过河到 B 点（包括从 B 点把船开回 A 点的时间）。

A. 14
B. 15
C. 16
D. 17

【解析】

深入思考发现每次过河船只能承受两个人，且返回还需要一个人折返的时间，因此折返的工作最好交给时间最短的人和次最短的人去做，尽量减少回程时间，使去程贡献最大。由此想到另外一种贪心策略：首先最快和次快的人先过河，最快的人返回，然后最慢与次慢的人再过河，次快的人返回，最后最快和次快的人过河。

那么进入正题，我们来看一下洛古的P1809 过河问题

过河问题

题目描述

有一个大晴天，Oliver 与同学们一共 $N$ 人出游，他们走到一条河的东岸边，想要过河到西岸。而东岸边有一条小船。

船太小了，一次只能乘坐两人。每个人都有一个渡河时间 $T$，船划到对岸的时间等于船上渡河时间较长的人所用时间。

现在已知 $N$ 个人的渡河时间 $T$，Oliver 想要你告诉他，他们最少要花费多少时间，才能使所有人都过河。

注意，只有船在东岸（西岸）的人才能坐上船划到对岸。

输入格式

输入文件第一行为人数 $N$，以下有 $N$ 行，每行一个数。

第 $i+1$ 行的数为第 $i$ 个人的渡河时间。

输出格式

输出文件仅包含一个数，表示所有人都渡过河的最少渡河时间。

样例 #1

样例输入 #1

4 6 7 10 15

样例输出 #1

42

提示

数据范围

对于 $40\%$ 的数据满足 $N\le 8$。

对于 $100\%$ 的数据满足 $N\le 100000$。

样例解释

• 初始：东岸 $\{1,2,3,4\}$，西岸 $\{\}$；
• 第一次：东岸 $\{3,4\}$，西岸$\{1,2\}$，时间 $7$；
• 第二次：东岸 $\{1,3,4\}$，西岸 $\{2\}$，时间 $6$；
• 第三次：东岸 $\{1\}$，西岸 $\{2,3,4\}$，时间 $15$；
• 第四次：东岸 $\{1,2\}$，西岸 $\{3,4\}$ 时间 $7$；
• 第五次：东岸 $\{\}$，西岸 $\{1,2,3,4\}$ 时间 $7$。

所以总时间为 $7+6+15+7+7=42$，没有比这个更优的方案。

依据上面的分析思想可写出完整代码如下：

#include
using namespace std;
int a[100005];
int main(){
	int n;cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
	}
	sort(a+1,a+n+1);
	int sum=0;
	while(n){
		if(n==1){
			sum+=a[1];
			n=0;
		}
		else if(n==2){
			sum+=a[2];
			n=0;
		}else if(n==3){
			sum+=a[1]+a[2]+a[3];
			n=0;
		}else if(n>=4){
			if(2*a[2]>a[1]+a[n-1]){
				sum+=(a[n-1]+a[n])+2*a[1];n-=2;
			}else {
				sum+=a[2]+a[1]+a[n]+a[2];n-=2;
			}
		}
		
		
		
	}
	cout<<sum;
	return 0;
}